Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}= \)
В данном выражении \(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}\) в числителе стоит разность. Преобразуем ее в разность логарифмов с одинаковыми основаниями.
Для этого представим число \(\displaystyle 0{,}5\) в виде логарифма с основанием \(\displaystyle 9:\)
\(\displaystyle 0{,}5=\log_9 9^{0{,}5}=\log_9 9^{\frac{1}{2}}=\log_9 3{\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle \log_9 6-0{,}5=\log_9 6-\log_9 3{\small.}\)
Применим свойство разности логарифмов:
\(\displaystyle \log_a b-\log_a c=\log_a \frac{b}{c} \)
\(\displaystyle (b>0, c>0,a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_9 6-\log_9 3=\log_9 \frac{6}{3}=\log_9 2{\small.}\)
Значит, для исходного выражения
\(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}=\frac{\log_9 2}{\log_9 2}=1{\small .}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{\log_9 6-0{,}5}{\log_9 2}=\frac{\log_9 6-\log_9 9^{0{,}5}}{\log_9 2}=\frac{\log_9 6-\log_9 3}{\log_9 2}=\frac{\log_9 \frac{6}{3}}{\log_9 2}=\frac{\log_9 2}{\log_9 2}=1{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 1 {\small.} \)