Найдите значение выражения:
\(\displaystyle \log^2_{\sqrt {3}} \frac{1}{27}= \)
Перепишем исходное выражение \(\displaystyle \log^2_{\sqrt {3}} \frac{1}{27}\) в виде явного квадрата:
\(\displaystyle \log^2_{\sqrt {3}} \frac{1}{27}=\left(\log_{\sqrt {3}} \frac{1}{27}\right)^2 {\small.} \)
Представим основание и подлогарифмическое выражение логарифма \(\displaystyle \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{27} \) в виде степеней с одинаковым основанием \(\displaystyle 3:\)
\(\displaystyle \sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}, \,\,\frac{1}{27}=3^{-3}{\small .} \)
Тогда
\(\displaystyle \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{27}= \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-3}} {\small.}\)
Применим свойства логарифма, связанные со степенями:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{blue}{k}}=\color{blue}{k} \log_a b \)
\(\displaystyle \log_{a^{\color{red}{p}}} b=\frac{1}{\color{red}{p}} \log_a b \)
\(\displaystyle (b>0,a>0,a \,\cancel{=}\,1, p\, \cancel=\,0 )\)
Получаем:
\(\displaystyle \log_{3^{\color{red}{\frac{1}{2}}}} 3^{\color{blue}{-3}}=\frac{ \color{blue}{-3} \phantom 1}{\color{red}{\phantom - \frac{1}{2}\phantom 1}}\log_{3} 3=-6\log_{3} 3 {\small.}\)
Найдем значение полученного более простого логарифма:
\(\displaystyle \log_3 3=1 {\small.}\)
Тогда
\(\displaystyle -6\log_{3} 3=-6 \cdot 1=-6 {\small.}\)
Значит,
\(\displaystyle \left(\log_{\sqrt {3}} \frac{1}{27}\right)^2=(-6)^2=36 {\small.} \)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \log^2_{\sqrt{3}} \frac{1}{27}=\left(\log_{\sqrt {3}} \frac{1}{27}\right)^2= ( \log_{3^{\frac{1}{2}}}{3^{-3}})^2=(-6\log_{3} 3)^2=(-6)^2=36 {\small.}\)
Ответ: \(\displaystyle 36 {\small.} \)