Найдите производную:
При вводе ответа аргумент логарифма и тригонометрической функции запишите в скобках.
Воспользуемся правилом дифференцирования частного:
Производная частного
\(\displaystyle\left(\frac{\color{green}{f(x)}}{\color{blue}{g(x)}}\right)^{\prime}=\frac{\left(\color{green}{f(x)}\right)^{\prime}\cdot \color{blue}{g(x)} - \color{green}{f(x)}\cdot\left(\color{blue}{g(x)}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{g(x)}\right)^2}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle\left(\frac{\color{green}{7^x}}{\color{blue}{\cos (x)}}\right)^{\prime}=\frac{\left(\color{green}{7^x}\right)^{\prime}\left(\color{blue}{\cos (x)}\right)-\left(\color{green}{7^x}\right)\left(\color{blue}{\cos (x)}\right)^{\prime}}{\left(\color{blue}{\cos (x)}\right)^2}{\small .}\)
Используя таблицу производных, вычислим производные:
- \(\displaystyle \color{green}{\left(7^x\right)^{\prime}}= \color{green}{7^x \cdot \ln (7)}{\small,} \)
- \(\displaystyle \color{blue}{\left(\cos (x)\right)^{\prime}}= \color{blue}{-\sin (x)} {\small.} \)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{\color{green}{\left(7^x\right)^{\prime}}\left({\cos (x)}\right)-\left({7^x}\right)\color{blue}{\left(\cos (x)\right)^{\prime}}}{\left({\cos (x)}\right)^2}=\frac{\color{green}{\left(7^x\cdot \ln (7)\right)}\cdot{\cos (x)}-{7^x}\cdot\color{blue}{(-\sin (x))}}{\left({\cos (x)}\right)^2}=\\[10px]=\frac{{7^x\cdot \ln (7)}\cdot{\cos (x)}+7^x\cdot{\sin (x)}}{\left({\cos (x)}\right)^2}{\small.}\end{aligned}\)
Таким образом, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\left(\frac{{7^x}}{{\cos (x)}}\right)^{\prime}=\frac{\left({7^x}\right)^{\prime}\left({\cos (x)}\right)-\left({7^x}\right)\left({\cos (x)}\right)^{\prime}}{\left({\cos (x)}\right)^2}=\frac{{7^x\cdot \ln (7)}\cdot{\cos (x)}+7^x\cdot{\sin (x)}}{\left({\cos (x)}\right)^2}{\small.}\end{aligned}\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{{7^x\cdot \ln (7)}\cdot{\cos (x)}+7^x\cdot{\sin (x)}}{\left({\cos (x)}\right)^2}{\small.}\)