Найдите производную:
Так как
\(\displaystyle \sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{6}}\)
и для любого ненулевого числа \(\displaystyle a\) верно формальное правило взятия производной
\(\displaystyle (x^{a})^{\prime}=a\cdot x^{a-1}{\small ,}\) то без учета области определения получаем
\(\displaystyle (\sqrt[6]{x})^{\prime}=\left(x^{\color{red}{\frac{1}{6}}}\right)^{\prime}=\color{red}{\frac{1}{6}}x^{\color{red}{\frac{1}{6}}-1}=\frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}}{\small .}\)
Степенная функция определена только для положительного аргумента, а функция корня определена либо для неотрицательного аргумента, либо на всей числовой оси. Поэтому верным ответом будет функция, записанная через символы корней:
\(\displaystyle (\sqrt[6]{x})^{\prime}=\frac{1}{6 \sqrt[6]{x^{5}}}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle (\sqrt[6]{x})^{\prime}=\frac{1}{6 \sqrt[6]{x^{5}}}{\small .}\)