Уравнение
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0{\small.}\)
Равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Приведем все тригонометрические функции к одному аргументу – \(\displaystyle x{\small.}\)
Для этого воспользуемся формулой синус двойного угла:
\(\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x){\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\color{blue}{\sin(2x)}+\sin(x)=0{\small,}\)
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\cdot\color{blue}{2\sin(x)\cos(x)}+\sin(x)=0{\small.}\)
Упростим уравнение.
Для этого вынесем общий множитель \(\displaystyle \sin(x)\) за скобки:
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\cdot{2\sin(x)\cos(x)}+\sin(x)=0{\small,}\)
\(\displaystyle \sin(x)(2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1)=0{\small.}\)
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \color{blue}{2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1=0}{\small.}\)
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
В уравнении
\(\displaystyle 2\cos^2(x)-2\sqrt{2}\cos(x)+1=0\)
сделаем замену \(\displaystyle y=\cos(x){\small:}\)
\(\displaystyle 2y^2-2\sqrt{2}y+1=0{\small.}\)
Получили квадратное уравнение. Решим его.
Дискриминант уравнения равен:
\(\displaystyle {\rm D}=(-2\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot 1=0{ \small .}\)
Тогда единственный корень уравнения:
\(\displaystyle y=\frac{-(-2\sqrt{2})+0}{2\cdot2}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle y=\cos(x){\small,}\) то
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Значит, уравнение
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\)
равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)