Выберите значения переменной \(\displaystyle x{ \small ,}\) при которых функция обращается в ноль или не существует:
\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .}\)
Воспользуемся следующими двумя свойствами рациональной функции, представленной в виде дроби:
- Если рациональная функция при \(\displaystyle x=x_0\) обращается в ноль, то \(\displaystyle x_0\) – корень числителя.
- Если при \(\displaystyle x=x_0\) значение рациональной функции не определено (или говорят, что оно не существует), то \(\displaystyle x_0\) – корень знаменателя.
Дана рациональная функция \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)
Следовательно, надо выбрать те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) в которых \(\displaystyle (x-2)x \) или \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x \) равны нулю.
Подставляя \(\displaystyle x=0 \) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle (0-2)\cdot 0=0{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle x=0\) – корень числителя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)
Подставляя \(\displaystyle x=-1\) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle (-1-2)\cdot (-1)\,\cancel{=}\,0{\small .} \)
Подставляя \(\displaystyle x=-1\) в знаменатель \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle ((-1)^3-3\cdot (-1)^2-(-1)+3)\cdot (-1)=0{\small .} \)
Следовательно, \(\displaystyle x=-1\) – корень знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)
Подставляя \(\displaystyle x=-2\) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle (-2-2)\cdot (-2)=8\,\cancel{=}\,0{\small .} \)
Подставляя \(\displaystyle x=-2\) в знаменатель \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle ((-2)^3-3\cdot (-2)^2-(-2)+3)\cdot (-2)=30\,\cancel{=}\,0{\small .} \)
Следовательно, \(\displaystyle x=-2\) не является корнем ни числителя, ни знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)
Подставляя \(\displaystyle x=4\) в числитель \(\displaystyle (x-2)x { \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle (4-2)\cdot 4\cancel{=}\,0{\small .} \)
Подставляя \(\displaystyle x=4\) в знаменатель \(\displaystyle (x^3-3x^2-x+3)x{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle (4^3-3\cdot 4^2-4+3)\cdot 4=60\,\cancel{=}\,0{\small .} \)
Следовательно, \(\displaystyle x=4\) не является корнем ни числителя, ни знаменателя \(\displaystyle f(x)=\frac{(x-2)x}{(x^3-3x^2-x+3)x}{\small .} \)