Решите квадратичное неравенство, используя график квадратичной функции:
\(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .}\)
Найдем все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0{\small .} \)
Для параболы \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) это означает найти все значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y\ge 0{\small .} \)
То есть это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Или, что то же самое, это те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых точки на параболе лежат как выше точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) так и на самой оси.
Значит, для решения неравенства \(\displaystyle -3x^2-24x+60\ge 0 \) надо:
- найти точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) то есть решить уравнение \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ;} \)
- начертить график параболы \(\displaystyle y=-3x^2-24x+60 \) с учетом найденных точек пересечения;
- записать решение неравенства как координаты \(\displaystyle x \) точек, лежащих как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Найдем точки пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small ,} \) решив уравнение
\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small .} \)
Вынесем общий множитель за скобки:
\(\displaystyle -3x^2-24x+60=0{\small ,} \)
\(\displaystyle -3(x^2+8x-20)=0{\small .} \)
Разделим обе части уравнения на \(\displaystyle -3{\small : } \)
\(\displaystyle -3(x^2+8x-20)=0 \,| :(\color{red}{ -3}) \)
\(\displaystyle x^2+8x-20=0{\small .} \)
Найдем дискриминант:
\(\displaystyle {\rm D}=b^2-4ac{\small ; } \)
\(\displaystyle {\rm D}=8^2-4\cdot 1\cdot (-20){\small ; } \)
\(\displaystyle {\rm D}=144=12^2{\small . } \)
Тогда корни уравнения равны
\(\displaystyle x_{1{ \small ,}2}= \frac{ -b\pm \sqrt{ \rm D} }{ 2a }{\small ; }\)
\(\displaystyle x_1=\frac{ -8+\sqrt{ 144} }{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -8-\sqrt{ 144} }{ 2 } { \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{ -8+12}{ 2 }{ \small ,}\, x_2=\frac{ -8-12 }{ 2 } { \small ,}\)
\(\displaystyle x_1=2{ \small ,}\, x_2=-10 { \small .}\)
Начертим график параболы с учетом точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX{\small :} \)
Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней:
Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:
Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (включая точки пересечения, так как в них \(\displaystyle -3x^2-24x+60=0\)).
Следовательно, искомое решение – это все точки прямой левее \(\displaystyle -10\) и правее \(\displaystyle 2{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle -10\) и \(\displaystyle 2{\small :}\)
Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:
На прямой изображены все точки, координата \(\displaystyle x \) которых больше либо равна \(\displaystyle -10 \) и меньше либо равна \(\displaystyle 2{ \small .} \)
То есть это все точки, для которых \(\displaystyle -10\le x\le 2{\small .} \)
Переписывая это в виде интервала, получаем:
\(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in [-10;\, 2]{\small .}\)