Найдите без округления значение корня с точностью до десятых:
\(\displaystyle \sqrt{22}=\)\(\displaystyle ,\)\(\displaystyle \ldots\)
Для любых натуральных чисел \(\displaystyle a,\, b\) верно
\(\displaystyle \sqrt{a^{\,2}-b} \approx a-\frac{b}{2a}{\small .}\)
Наименьшее число, являющиеся квадратом натурального числа, которое больше \(\displaystyle 22{\small , }\) – это \(\displaystyle \color{blue}{25}=\color{blue}{5^2}\) (ближайший больший квадрат натурального числа).
Тогда можно записать:
\(\displaystyle 22=\color{blue}{25}-\color{green}{3}=\color{blue}{5^2}-\color{green}{3}{\small .}\)
Применим формулу, дающую приближенное значение корня:
\(\displaystyle \sqrt{22}=\sqrt{\color{blue}{5^2}-\color{green}{3}}\approx \color{blue}{5}-\frac{\color{green}{3}}{2\cdot\color{blue}{5}}= 4{,}7\ldots\)
Следовательно, можно предположить, что
\(\displaystyle \sqrt{22}=4{,}7\ldots\)
Проверим точность данного представления.
Найдем \(\displaystyle (4{,}7)^2:\)
\(\displaystyle (4{,}7)^2= 22.09 > 22{\small .}\)
Так как полученное число больше \(\displaystyle 22{\small ,}\) то на следующем шаге уменьшим число на \(\displaystyle \color{red}{0{,}1}{\small ,}\) то есть \(\displaystyle 4{,}7\color{red}{-0{,}1}=4.6 {\small :}\)
\(\displaystyle (4.6)^2=21.16 < 22{\small .}\)
Поэтому
\(\displaystyle (4.6)^2 < 22 <(4.7)^2{\small ,}\)
\(\displaystyle \sqrt{(4.6)^2}<\sqrt{22}<\sqrt{(4.7)^2}{\small ,}\)
\(\displaystyle 4.6 < \sqrt{22}< 4.7{\small .}\)
Таким образом, нам пришлось уменьшить полученное число на \(\displaystyle 0{,}1{\small ,}\) чтобы найти без округления значение корня до десятых:
\(\displaystyle \sqrt{22}=4{,}{\bf 6}\ldots\)
Ответ: \(\displaystyle \sqrt{22}=4.6 \ldots \)