Для любых ненулевых чисел \(\displaystyle a,\, b\) найдите показатели степеней:
| \(\displaystyle a^{\,31}: b^{\,-10}:a^{\,-17}\cdot b^{\,-23} = a\) | \(\displaystyle \cdot \, b\) |
Применим правило замены деления на умножение дважды.
Для любых \(\displaystyle a,\) ненулевого \(\displaystyle b\) и целого числа \(\displaystyle n\) верно
\(\displaystyle a:b^{\, n}=a \cdot b^{\,-{n}}.\)
Первый раз применим его к делению на \(\displaystyle b^{\,-10}\):
\(\displaystyle a^{\,31}\color{blue}{: b^{\,-10}}: a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31}\cdot \color{blue}{ b^{\,-(-10)}} : a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot \color{blue}{b^{\,10}}: a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}.\)
Второй раз – к делению на \(\displaystyle {a}^{\,-17}\):
\(\displaystyle a^{\,31} \cdot b^{\,10}\color{green}{: {a}^{\,-17}}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot b^{\,10}\cdot \color{green}{ {a}^{\,-(-17)}}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot b^{\,10}\cdot \color{green}{ {a}^{\,17}}\cdot b^{\,-23}.\)
В результате имеем:
\(\displaystyle a^{\,31}: b^{\,-10}: {a}^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\,31} \cdot b^{\,10}\cdot a^{\,17}\cdot b^{\,-23}.\)
Далее по правилу сложения степеней получаем:
\(\displaystyle \color{green}{a^{\, 31}}\cdot \color{blue}{b^{\,10}} \cdot \color{green}{a^{\, 17}}\cdot \color{blue}{b^{\,-23}}=\color{green}{a^{\,31+17}}\cdot \color{blue}{b^{\, 10+(-23)}}=\color{green}{a^{\,48}}\cdot \color{blue}{b^{\,-13}}.\)
Таким образом,
\(\displaystyle a^{\,31}: b^{\,-10}:a^{\,-17}\cdot b^{\,-23}=a^{\, 48}\cdot b^{\, -13}.\)
Ответ: \(\displaystyle a^{\, 48}\cdot b^{\, -13}.\)