Skip to main content

Теория: 14 Конус и цилиндр-2

Задание

Вода в сосуде цилиндрической формы находится на уровне \(\displaystyle 16\) см. На каком уровне окажется вода, если её перелить в другой цилиндрический сосуд, у которого радиус основания вдвое больше, чем у данного? Ответ дайте в сантиметрах.

4
Решение

Заметим, что при переливании жидкости из сосуда в сосуд, объём жидкости не меняется.

Объем жидкости равен объему цилиндра, в котором:

  • радиус основания равен радиусу основания сосуда;
  • высота равна уровню жидкости в сосуде.

Наша задача – найти высоту второго цилиндра.
Для этого составим выражения для вычисления объёмов цилиндров и воспользуемся тем, что эти объёмы равны.
Единица измерения радиусов основания и высот – см.

Первый цилиндр

  • \(\displaystyle r\)– радиус основания первого цилиндра, 
  • \(\displaystyle h=16{ \small}\)– высота. 

Тогда объём первого цилиндра: 

 \(\displaystyle \color{red}{{\footnotesize {V}}=16\pi\cdot r^2 } { \small }\)

Второй цилиндр

  • \(\displaystyle R\)– радиус основания второго цилиндра,
  • \(\displaystyle H\)– высота.

По условию радиус основания второго цилиндра в два раза больше радиуса основания первого, то есть:

\(\displaystyle R=2r{ \small .}\)

Тогда объём второго цилиндра 

\(\displaystyle \color{blue}{V=4\pi \cdot r^2 \cdot H}{ \small } \) 

Поскольку полученные объёмы равны, то: 

\(\displaystyle \color{blue}{V}=\color{red}{\footnotesize {V}}{ \small .} \)

Получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{4\pi \cdot r^2 \cdot H=\color{red}{16\pi\cdot r^2}} \ \ | { :4\pi r^2}{ \small ,} \)

\(\displaystyle H=4{ \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 4{ \small .}\)