Касательные \(\displaystyle CA\) и \(\displaystyle CB\) образуют угол \(\displaystyle ACB \small,\) равный \(\displaystyle 90^\circ \small.\) Найдите длину отрезка \(\displaystyle AC\small ,\) если \(\displaystyle AB=4\sqrt{2}\small.\)
По свойству отрезков касательных
Свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки
Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны.
\(\displaystyle CB=CA \)
получаем:
\(\displaystyle CB=CA {\small .} \)
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник \(\displaystyle CAB {\small .}\)
По теореме Пифагора
\(\displaystyle AB^2=AC^2+CB^2 {\small ,}\)
\(\displaystyle AB^2=2 \cdot AC^2 {\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle (4\sqrt{2})^2=2 \cdot AC^2{\small ,}\)
\(\displaystyle 32=2 \cdot AC^2{\small ,}\)
\(\displaystyle AC^2=16{\small .}\)
Так как длина отрезка положительна, то
\(\displaystyle AC=4 {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 4 {\small .}\)