Теория: 04 Вписанная окружность

По условию задачи выполним построения.

Пусть \(\displaystyle ABCD\) – параллелограмм, \(\displaystyle AC\) – диагональ параллелограмма,

\(\displaystyle O\)– центр окружности, вписанной в треугольник \(\displaystyle ABC {\small.}\)

\(\displaystyle OA=5\) – расстояние от центра окружности до точки \(\displaystyle A {\small.}\) \(\displaystyle OK \perp AC\) и \(\displaystyle OK=3\) – расстояние от центра окружности до прямой \(\displaystyle AC {\small.}\) Поскольку окружность касается диагонали \(\displaystyle AC{\small,}\) то \(\displaystyle K\) – это точка касания, а \(\displaystyle OK\) – радиус окружности. \(\displaystyle S_{ABCD}=168\)– площадь параллелограмма.

Требуется найти длину стороны \(\displaystyle BC{\small.}\)

Обозначим буквами \(\displaystyle M\) и \(\displaystyle N\) – точки касания окружности со сторонами \(\displaystyle AB\) и \(\displaystyle BC\) соответственно. Отрезки \(\displaystyle OM {\small,}\) \(\displaystyle ON\) и \(\displaystyle OK\) равны как радиусы вписанной окружности. То есть \(\displaystyle OM=ON=OK=3 {\small.}\) Пусть \(\displaystyle BN=x {\small,}\) \(\displaystyle CN=y {\small.}\) Тогда \(\displaystyle BC=x+y{\small.}\)

Диагональ \(\displaystyle AC\) делит параллелограмм \(\displaystyle ABCD\) на два равных треугольника:

\(\displaystyle \triangle ABC= \triangle ADC\) (по трём сторонам).

Следовательно,

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} {\small;}\)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2} \cdot 168=84 {\small.}\)

Рассмотрим треугольник \(\displaystyle ABC{\small.}\)

Поскольку отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны, то

\(\displaystyle BN=BM=x {\small,}\) \(\displaystyle CN=CK=y \) и \(\displaystyle AM=AK{\small.}\)

Длину отрезка \(\displaystyle AK\) найдем из прямоугольного треугольника \(\displaystyle AOK\) по теореме Пифагора: \(\displaystyle AK^2=AO^2-OK^2 {\small;}\) \(\displaystyle AK^2=5^2-3^2 =25-9=16=4^2{\small.}\) Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то \(\displaystyle AK=4{\small.}\)

Запишем длины сторон \(\displaystyle \triangle ABC {\small:}\) \(\displaystyle BC=x+y{\small,}\) \(\displaystyle AB=x+4{\small,}\) \(\displaystyle AC=y+4{\small.}\) Периметр треугольника равен сумме длин всех сторон: \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=BC+AB+AC{\small;}\) \(\displaystyle P_{\triangle ABC}=x+y+x+4+y+4=2 \cdot (x+y+4){\small.}\)

Учитывая, что \(\displaystyle x+y=BC{\small,}\) получаем

\(\displaystyle P_{\triangle ABC}=2 \cdot (BC+4){\small.}\)

Выразим площадь треугольника через периметр и радиус вписанной окружности:

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} \cdot P_{\triangle ABC} \cdot r{\small;}\)

\(\displaystyle r=OK=3{\small;}\)

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=\frac{1}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2} \cdot (BC+4) \cdot 3=3\cdot BC+12{\small.}\)

Так как

\(\displaystyle S_{\triangle ABC}=84\)     и     \(\displaystyle S_{\triangle ABC}=3\cdot BC+12{\small,}\)

то

\(\displaystyle 84=3\cdot BC+12{\small;}\)

\(\displaystyle 3\cdot BC=72 {\small;}\)

\(\displaystyle BC=24 {\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle 24{\small.}\)