Вынесите общий множитель и разложите получившееся выражение на множители:
Сначала найдем общий множитель.
1. Найдем наибольший общий делитель числовых коэффициентов:
- \(\displaystyle 54=2\cdot 3^3\)
- \(\displaystyle 36=2^2\cdot 3^2\)
- \(\displaystyle 63=3^2\cdot 7\)
- \(\displaystyle 42=2\cdot 3\cdot 7\)
Из разложения на простые множители следует, что наибольший общий делитель равен \(\displaystyle 3{\small .}\)
2. Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}, \, x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}, \, x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}\) и \(\displaystyle y^{\,3}z^{\,6}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle y^{\,3}\) и \(\displaystyle z^{\,6} {\small .}\)
Таким образом, общий множитель равен \(\displaystyle 3y^{\,3}z^{\,6}{\small .}\) Вынесем его за скобки:
\(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}+36x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}-63x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}-42y^{\,3}z^{\,6}=\)
\(\displaystyle =3y^{\,3}z^{\,6}\,(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14){\small .}\)
Из выражения в скобках видно, что каждая переменная встречается в трех членах выражения и, следовательно, мы не можем выбрать переменную, которая встречается в половине членов, то есть дважды. В этом случае выберем любую переменную, например, \(\displaystyle y\):
\(\displaystyle 18x^{\,9}\color{red}{y^{\,10}}z^{\,14}+12x^{\,3}\color{red}{y^{\,8}}z^{\,6}-21x^{\,6}\color{red}{y^{\,2}}z^{\,8}-14{\small .}\)
Сгруппируем член, в который входит переменная \(\displaystyle y\) в самой большой степени (это \(\displaystyle 18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}\)), и любой другой член, содержащий данную переменную (например, \(\displaystyle 12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\)), в одни скобки, а все остальные члены – в другие:
\(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})+(-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14) {\small .}\)
Найдем общий множитель для выражения в первых скобках \(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}) {\small .}\)
- Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(18,12)=6 {\small .}\)
- Выберем общие переменные у выражений \(\displaystyle x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}\) и \(\displaystyle x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\) с наименьшим показателем степени, – это \(\displaystyle x^{\,3}, \, y^{\,8}\) и \(\displaystyle z^{\,6} {\small .}\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})\) равен \(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6} {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle 18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}=6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\)
Далее найдем общий множитель для выражения во вторых скобках \(\displaystyle (-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14) {\small .}\) Так как последнее слагаемое – это число, то можно вынести только общий числовой множитель.
Наибольший общий делитель числовых коэффициентов равен \(\displaystyle НОД(21,14)=7{\small .}\)
Значит, общий множитель для \(\displaystyle (-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)\) равен \(\displaystyle 7 {\small .}\) Вынося его за скобки, имеем:
\(\displaystyle -21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14=7(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2){\small .}\)
Возвращаясь к исходному выражению, получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned} (18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6})&+(-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)=\\ &=6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2){\small .} \end{aligned}\)
Заметим, что множители \(\displaystyle (3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\) и \(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)\) отличаются только знаком, то есть
\(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)=-(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\)
Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)\) на \(\displaystyle -(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\):
\(\displaystyle \begin{array}{l} 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7\,\color{red}{(-3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-2)}= \\[10px] \kern{6em} =6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)+7\,\color{red}{\Big(-(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)\Big)}= \\[10px] \kern{12em} =6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)-7\,(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .} \end{array}\)
Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:
\(\displaystyle 6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}\,\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)}-7\,\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)}=\color{blue}{(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)} (6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-7) {\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 54x^{\,9}y^{\,13}z^{\,20}+36x^{\,3}y^{\,11}z^{\,12}-63x^{\,6}y^{\,5}z^{\,14}-42y^{\,3}z^{\,6}=\)
\(\displaystyle ={\bf 3}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,(18x^{\,9}y^{\,10}z^{\,14}+12x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-21x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}-14)=\)
\(\displaystyle ={\bf 3}{\pmb y}^{\,{\bf 3}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}\,({\bf 3}{\pmb x}^{\,{\bf 6}}{\pmb y}^{\,{\bf 2}}{\pmb z}^{\,{\bf 8}}+{\bf 2})({\bf 6}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}{\pmb y}^{\,{\bf 8}}{\pmb z}^{\,{\bf 6}}-{\bf 7}) {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 3y^{\,3}z^{\,6}(3x^{\,6}y^{\,2}z^{\,8}+2)(6x^{\,3}y^{\,8}z^{\,6}-7){\small .}\)