Представьте выражение в виде одночлена в стандартном виде:
Стандартный вид одночлена
Одночлен записан в стандартном виде, если это одночлен, в котором:
- каждая переменная в произведении встречается только один раз и стоит в натуральной степени,
- если есть числовой множитель, то он встречается только один раз и стоит на первом месте.
Нам нужно привести выражение
\(\displaystyle 3\left( x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot z^{\,3}\cdot x^{\,3} \cdot 2y\right)^3\cdot z^{\,0}\)
к стандартному виду.
Для этого необходимо:
2) вынести все числовые множители на первое место и перемножить их,
3) сгруппировать и перемножить степени с одинаковыми основаниями.
Выполним первый шаг, раскрыв скобки со степенью и заменив все переменные в нулевой степени на \(\displaystyle 1{\small :}\)
\(\displaystyle \begin{aligned} 3\left( \color{blue}{x^{\,2}}\cdot \color{green}{y^{\,2}}\cdot \color{red}{z^{\,3}}\cdot \color{blue}{x^{\,3}}\cdot 2\color{green}{y}\right)^3\cdot z^{\,0}&= 3\left( \color{blue}{x^{\,2}}\cdot \color{green}{y^{\,2}} \cdot \color{red}{z^{\,3}}\cdot \color{blue}{x^{\,3}}\cdot (2\color{green}{y}\,) \right)^3\cdot 1=\\ &=3\cdot\color{blue}{x}^{\,\color{blue}{2}\cdot 3}\cdot \color{green}{y}^{\,\color{green}{2}\cdot 3} \cdot \color{red}{z}^{\,\color{red}{3}\cdot 3}\cdot \color{blue}{x}^{\,\color{blue}{3}\cdot 3} \cdot (2\color{green}{y}\,)^3=\\ &=3\cdot\color{blue}{x^{\,6}}\cdot \color{green}{y^{\,6}} \cdot \color{red}{z^{\,9}}\cdot \color{blue}{x^{\,9}}\cdot 2^3 \cdot \color{green}{y^{\,3}}{\small .} \end{aligned}\)
Далее выполним второй и третий шаги, вынеся на первое место числовые множители, сгруппировав степени с одинаковыми основаниями, а затем все перемножив:
\(\displaystyle 3\cdot \color{blue}{x^{\,6}}\cdot \color{green}{y^{\,6}} \cdot \color{red}{z^{\,9}}\cdot \color{blue}{x^{\,9}} \cdot 2^3\cdot \color{green}{y^{\,3}}= (3\cdot 2^3)\cdot ( \color{blue}{x^{\,6}}\cdot \color{blue}{x^{\,9}})\cdot (\,\color{green}{y^{\,6}} \cdot \color{green}{y^{\,3}}) \cdot \color{red}{z^{\,9}}=\)
\(\displaystyle =(3\cdot 8)\cdot \color{blue}{x^{\,6+9}}\cdot \color{green}{y^{\,6+3}} \cdot \color{red}{z^{\,9}}=24\color{blue}{x^{\,15}}\color{green}{y^{\,9}}\color{red}{z^{\,9}}{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle 3\left( x^{\,2}\cdot y^{\,2}\cdot z^{\,3}\cdot x^{\,3} \cdot 2y\right)^3\cdot z^{\,0}=24x^{\,15}y^{\,9}z^{\,9}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 24x^{\,15}y^{\,9}z^{\,9}{\small .}\)