Найдите периодическую дробь, равную \(\displaystyle \frac{1}{7}\) (в скобках запишите минимальный период):
\(\displaystyle \frac{1}{7}=0,(\)\(\displaystyle )\)
Разделим \(\displaystyle 1\) на \(\displaystyle 7\) в столбик, производя деление до первого повторения делимого внутри процесса деления:
| шаг 1 | шаг 2 | шаг 3 | шаг 4 | шаг 5 | шаг 6 | шаг 7 | |||||||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{1}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | \(\displaystyle 7\) | ||||||||||||||||||
| Вычитаем 7 из 10 | Шаг 1 | \(\displaystyle 7\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle ,\) | \(\displaystyle \color{blue}{1}\) | \(\displaystyle \color{blue}{4}\) | \(\displaystyle \color{blue}{2}\) | \(\displaystyle \color{blue}{8}\) | \(\displaystyle \color{blue}{5}\) | \(\displaystyle \color{blue}{7}\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle \dots\) | |||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||||||||||
| Вычитаем 28 из 30 | Шаг 2 | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 8\) | ||||||||||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 2\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||||||||||
| Вычитаем 14 из 20 | Шаг 3 | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 4\) | ||||||||||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 6\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||||||||||
| Вычитаем 56 из 60 | Шаг 4 | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 6\) | ||||||||||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||||||||||
| Вычитаем 35 из 40 | Шаг 5 | \(\displaystyle 3\) | \(\displaystyle 5\) | ||||||||||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle 5\) | \(\displaystyle 0\) | |||||||||||||||||||
| Вычитаем 49 из 50 | Шаг 6 | \(\displaystyle 4\) | \(\displaystyle 9\) | ||||||||||||||||||
| \(\displaystyle -\) | \(\displaystyle \color{red}{1}\) | \(\displaystyle \color{red}{0}\) | |||||||||||||||||||
| Вычитаем 7 из 10 | Шаг 7 | \(\displaystyle 7\) | |||||||||||||||||||
| \(\displaystyle \dots\) |
Так как на первом и седьмом шагах получаем одно и то же делимое (число \(\displaystyle 10\)), то последовательность цифр \(\displaystyle 142857\) в частном, полученная с первого по шестой шаги, будет непрерывно повторяться.
Таким образом,
\(\displaystyle \frac{1}{7}=0,\color{blue}{142857}\color{red}{142857}\color{green}{142857}\ldots\)
и, следовательно, можно записать минимальный период периодической дроби:
\(\displaystyle \frac{1}{7}=0,(142857).\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{7}=0,(142857).\)