Найдите один из минимальных периодов периодической дроби
\(\displaystyle 287,5717171\ldots\)
Ненулевая группа цифр в периодической дроби, которая, начиная с некоторого места, непрерывно повторяется, называется периодом. Минимальная группа таких цифр называется минимальным периодом.
В периодической дроби \(\displaystyle 287,{\bf 5}717171\ldots\) после цифры \(\displaystyle {\bf 5}\) группа цифр \(\displaystyle 71\) непрерывно повторяется. Следовательно, \(\displaystyle 71\) является периодом данной десятичной дроби:
\(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,5(71).\)
Найдем минимальный период, начиная с первой цифры периода \(\displaystyle 71.\)
\(\displaystyle \color{red}{{\bf 7}}1\): число \(\displaystyle 7\) не является периодом, так как
\(\displaystyle 287,5(71)=\not 287,5(7)=287,5777\ldots\)
\(\displaystyle \color{red}{{\bf 71}}\): число \(\displaystyle 71\) является периодом,
то есть \(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,5(71).\)
Значит, \(\displaystyle 71\) является минимальным периодом, состоящим из двух цифр:
\(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,5({\bf 71}).\)
Можно также сказать, что в периодической дроби \(\displaystyle 287,5{\bf 7}17171\ldots\) после цифры \(\displaystyle {\bf 7}\) группа цифр \(\displaystyle 17\) тоже непрерывно повторяется.
Таким образом, \(\displaystyle 17\) также является минимальным периодом:
\(\displaystyle 287,5717171\ldots=287,57({\bf 17}).\)
Ответ: \(\displaystyle 71\) или \(\displaystyle 17.\)