Теория: Метод подстановки

Дана система линейных уравнений:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Для того чтобы воспользоваться методом подстановки, надо выразить одну из переменных через другую. 

Используем первое уравнение системы, чтобы выразить переменную \(\displaystyle x\) через \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}\frac{5}{7}x-5y=-\frac{23}{14}{\small ,}\\[10px]\frac{5}{7}x=5y-\frac{23}{14}{\small ,}\\[10px]\left(\frac{5}{7}x\right):\frac{5}{7}=\left(5y-\frac{23}{14}\right):\frac{5}{7}{\small ,}\\[10px]x=\left(5y-\frac{23}{14}\right)\cdot \frac{7}{5}{\small ,}\\[10px]x=\left(5\cdot \frac{7}{5}\right)y-\frac{23}{14}\cdot \frac{7}{5}{\small ,}\\[10px]x=7y-\frac{23}{10}{\small .}\end{array}\)

Далее, в исходной системе

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{blue}{{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}\end{aligned}\end{array}\)

заменим первое уравнение \(\displaystyle \color{blue}{{\small \frac{5}{7}}x-5y=-{\small \frac{23}{14}}}\) на \(\displaystyle \color{green}{x=7y-\frac{23}{10}}{\small .}\) Тогда:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x=7y-{\small \frac{23}{10}}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}x+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Теперь, так как известно, что  \(\displaystyle \color{green}{x}=\color{green}{7y-\frac{23}{10}}{\small ,}\) то во втором линейном уравнении можно вместо \(\displaystyle \color{green}{x}\) подставить \(\displaystyle \color{green}{7y-\frac{23}{10}}\) (метод подстановки):

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&\color{green}{x}=\color{green}{7y-{\small \frac{23}{10}}}{\small ,}\\&{\small \frac{2}{3}}\cdot \left(\color{green}{7y-{\small \frac{23}{10}}}\right)+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Получаем систему, в которой второе уравнение – это линейное уравнение от одной переменной \(\displaystyle y\,{\small :}\)

\(\displaystyle \frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small .}\)

Решим его, чтобы найти \(\displaystyle y\,{\small:}\)

\(\displaystyle \begin{array}{c}\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\left(\frac{2}{3}\cdot 7\right)y-\frac{2}{3}\cdot\frac{23}{10}+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\frac{14}{3}y-\frac{23}{15}+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\frac{14}{3}y+\frac{1}{2}y=\frac{23}{15}+\frac{8}{15}{\small ,}\\[10px]\frac{31}{6}y=\frac{31}{15}{\small ,}\\[10px]y=\frac{31}{15}:\frac{31}{6}{\small ,}\\[10px]y=\frac{31}{15}\cdot\frac{6}{31}{\small ,}\\[10px]y=\frac{2}{5}{\small .}\end{array}\)

Далее в системе

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=7y-{\small \frac{23}{10}}{\small }{\small ,}\\&\color{blue}{{\small \frac{2}{3}}\cdot \left(7y-{\small \frac{23}{10}}\right)+{\small \frac{1}{2}}y={\small \frac{8}{15}}}\end{aligned}\end{array}\)

второе линейное уравнение \(\displaystyle \color{blue}{\frac{2}{3}\cdot \left(7y-\frac{23}{10}\right)+\frac{1}{2}y=\frac{8}{15}}\) заменяем на \(\displaystyle \color{green}{y=\frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=7y-{\small \frac{23}{10}}{\small ,}\\&\color{green}{y={\small \frac{2}{5}}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Снова применим метод подстановки – в первое уравнение системы вместо \(\displaystyle y\) подставим число \(\displaystyle {\bf \frac{2}{5}}{\small ,}\) получаем:

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{2}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x=7\cdot {\bf {\small \frac{2}{5}}}-{\small \frac{23}{10}}{\small ,}\\&y={\small \frac{2}{5}}\end{aligned}\end{array}\)

или

\(\displaystyle \begin{array}{rl}\left\{\vphantom{\begin{aligned}1\\{\small \frac{5}{3}}\end{aligned}}\right.&\kern{-1.5em}\begin{aligned}&x={\small \frac{1}{2}}{\small ,}\\&y={\small \frac{2}{5}}{\small .}\end{aligned}\end{array}\)

Ответ: \(\displaystyle x=\frac{1}{2}{\small ,}\;y=\frac{2}{5}{\small .}\)