В выражении \(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Воспользуемся определением.
ОпределениеНаименьший общий знаменатель
Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.
То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400{\small .}\)
Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400\) на простые множители.
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 5500{\small .}\)
Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 2\) и на \(\displaystyle 5{\small .}\) Последовательно получаем:
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750\)
У числа \(\displaystyle 5500\) последняя цифра равна \(\displaystyle 0{\small .}\)
Число \(\displaystyle 0\) четное.
Следовательно, число \(\displaystyle 5500\) делится на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot 1375\)
У числа \(\displaystyle 2750\) последняя цифра равна \(\displaystyle 0{\small .}\)
Число \(\displaystyle 0\) четное.
Следовательно, число \(\displaystyle 2750\) делится на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 2750=2\cdot 1375{\small ,}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 1375\) равна \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle 1375\) делится на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 1375=5\cdot 275{\small ,}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 275\) равна \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle 275\) делится на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 275=5\cdot 55{\small ,}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55{\small .}\)
\(\displaystyle 5500=2\cdot 2750=2\cdot2\cdot1375=2\cdot2\cdot5\cdot 275=2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot 55=2^2\cdot 5^3\cdot11\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 55\) равна \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle 55\) делится на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 55=5\cdot11{\small ,}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 55=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 11=2^2\cdot 5^3 \cdot 11{\small .}\end{aligned}\)
Так как число \(\displaystyle 11\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 5500\) на простые множители завершено.
В итоге имеем:
\(\displaystyle \begin{aligned}5500=2\cdot 2750=2\cdot 2\cdot 1375=2\cdot 2\cdot 5\cdot275=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 55=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot 2\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\cdot 11=2^2\cdot 5^3 \cdot 11{\small .}\end{aligned}\)
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 1400{\small .}\) Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 2\) и на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Последовательно получаем:
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700\)
У числа \(\displaystyle 1400\) последняя цифра равна \(\displaystyle 0{\small .}\)
Число \(\displaystyle 0\) четное.
Следовательно, число \(\displaystyle 1400\) делится на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 700\) равна \(\displaystyle 0{\small .}\)
Число \(\displaystyle 0\) четное.
Следовательно, число \(\displaystyle 700\) делится на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 700=2\cdot 350 {\small ,}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 350\) равна \(\displaystyle 0{\small .}\)
Число \(\displaystyle 0\) четное.
Следовательно, число \(\displaystyle 350\) делится на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 350= 2\cdot 175 {\small ,}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 175\) равна \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle 175\) делится на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 175=5\cdot 35{\small ,}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35{\small .}\)
\(\displaystyle 1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 35=2^3\cdot 5^2\cdot 7\)
Последняя цифра числа \(\displaystyle 35\) равна \(\displaystyle 5{\small .}\)
Следовательно, число \(\displaystyle 35\) делится на \(\displaystyle 5{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle 35=5\cdot 7{\small ,}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5\cdot 35=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 7 = 2^3\cdot 5^2\cdot 7{\small .}\end{aligned}\)
Так как число \(\displaystyle 7\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 1400\) на простые множители завершено.
В итоге имеем:
\(\displaystyle \begin{aligned}1400=2\cdot 700=2\cdot 2\cdot 350=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 175=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 5\cdot 35=\\\end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=2\cdot2 \cdot 2\cdot 5 \cdot 5\cdot 7 = 2^3\cdot 5^2\cdot 7{\small .}\end{aligned}\)
Получили разность дробей:
\(\displaystyle \frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot11}-\frac{3}{2^3\cdot5^2\cdot7}{\small .}\)
Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400{\small .}\)
\(\displaystyle НОК(5500, 1400)=НОК(2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7)=2^3\cdot5^3\cdot7\cdot11{\small .}\)
Подставим разложение чисел \(\displaystyle 5500\) и \(\displaystyle 1400\) на простые множители, получим:
\(\displaystyle НОК(5500, 1400)=НОК(2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7){\small .}\)
Для получения \(\displaystyle НОК\) нужно взять произведение всех простых множителей в наибольших степенях.
| Число | Простые множители | Все простые множители
в порядке возрастания | Все простые множители
в наибольшей степени | НОК |
|---|
| \(\displaystyle 5500=2^2\cdot5^3\cdot11\) | \(\displaystyle 2^2\) | \(\displaystyle 2^2, 2^3, 5^2, 5^3, 7^1, 11^1\) | \(\displaystyle 2^3, 5^3, 7^1, 11^1\) | \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7^1\cdot 11^1\) |
| \(\displaystyle 5^3\) |
| \(\displaystyle 11^1 \) |
| \(\displaystyle 1400=2^3\cdot5^2\cdot7\) | \(\displaystyle 2^3 \) |
| \(\displaystyle 5^2 \) |
| \(\displaystyle 7^1 \) |
Таким образом,
\(\displaystyle НОК(5500, 1400)=НОК(2^2\cdot5^3\cdot11,2^3\cdot5^2\cdot7)=2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11=77000{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11\) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{23}{5500}\) и \(\displaystyle \frac{3}{1400}{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{23}{5500}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot 11} \longrightarrow \frac{23\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^2\cdot \color{blue}{ 2}\cdot 5^3\cdot\color{blue}{ 7}\cdot 11}{ \small ,}\\[10px]\frac{3}{1400}=\frac{3}{2^3\cdot 5^2\cdot 7 } \longrightarrow \frac{3\cdot \color{green}{ 5}\cdot \color{green}{ 11}}{2^3\cdot 5^2\cdot\color{green}{ 5}\cdot 7\cdot \color{green}{ 11}}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{23}{5500}-\frac{3}{1400}=\frac{23}{2^2\cdot5^3\cdot 11} -\frac{3}{2^3\cdot 5^2\cdot 7 }=\\[10px] \end{aligned}\)
\(\displaystyle \begin{aligned}=\frac{23\cdot \color{blue}{ 2}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^2\cdot \color{blue}{ 2}\cdot 5^3\cdot\color{blue}{ 7}\cdot 11}-\frac{3\cdot \color{green}{ 5}\cdot \color{green}{ 11}}{2^3\cdot 5^2\cdot\color{green}{ 5}\cdot 7\cdot \color{green}{ 11}}=\frac{23\cdot 2\cdot 7-3\cdot 5\cdot11}{ 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11 }{\small .}\end{aligned}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем вычитая, получаем:
\(\displaystyle \frac{23\cdot 2\cdot 7-3\cdot 5\cdot11}{ 2^3\cdot 5^3\cdot 7\cdot 11 }=\frac{322-165}{ 77000 }=\frac{ 157}{ 77000 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{157}{77000}{\small .}\)