Найдите сумму дробей (в ответе запишите дробь, у которой знаменатель является наименьшим общим знаменателем дробей):
| \(\displaystyle \frac{21}{104}+\frac{19}{273}\,=\) |
В выражении \(\displaystyle \frac{21}{104}+\frac{19}{273}\) приведем дроби к наименьшему общему знаменателю.
Воспользуемся определением.
Наименьший общий знаменатель
Наименьшим общим знаменателем называется наименьшее общее кратное двух знаменателей.
То есть требуется найти наименьшее число (НОК), которое делится на \(\displaystyle 104\) и \(\displaystyle 273{\small .}\)
Для этого нужно разложить каждое из чисел \(\displaystyle 104\) и \(\displaystyle 273\) на простые множители.
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 104{\small .}\)
Воспользуемся признаком делимости на \(\displaystyle 2{\small .}\)
Последовательно получаем:
Так как число \(\displaystyle 13\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 104\) на простые множители завершено.
В итоге имеем:
\(\displaystyle 104=2\cdot 52=2\cdot 2\cdot 26=2\cdot 2\cdot 2\cdot13{\small .}\)
Разложим на простые множители число \(\displaystyle 273{\small .}\) Воспользуемся признаками делимости на \(\displaystyle 3\) и на \(\displaystyle 7{\small .}\)
Последовательно получаем:
Так как число \(\displaystyle 13\) простое, то разложение числа \(\displaystyle 273\) на простые множители завершено.
В итоге имеем:
\(\displaystyle 273=3\cdot 91= 3\cdot 7\cdot13{\small .}\)
Получили сумму дробей:
\(\displaystyle \frac{21}{104}+\frac{19}{273}=\frac{21}{2^3\cdot 13}+\frac{19}{3\cdot 7\cdot13}{\small .}\)
Найдем наименьшее общее кратное чисел \(\displaystyle 104\) и \(\displaystyle 273{\small .}\)
Следовательно, \(\displaystyle 2^3\cdot 3\cdot 7\cdot 13\) – наименьший общий знаменатель дробей \(\displaystyle \frac{21}{104}\) и \(\displaystyle \frac{19}{273}{\small .}\)
Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю \(\displaystyle 2^3\cdot 3\cdot 7\cdot 13{\small .}\)
Тогда
\(\displaystyle \begin{aligned}\frac{21}{104}=\frac{21}{2^3\cdot 13} \longrightarrow \frac{21\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 7}\cdot 13}{ \small ,}\\[10px]\frac{19}{273}=\frac{19}{3\cdot 7 \cdot 13} \longrightarrow \frac{19\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 7\cdot 13}{\small .}\end{aligned}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{21}{104}+\frac{19}{273}=\frac{21}{2^3\cdot 13}+\frac{19}{3\cdot 7 \cdot 13}=\frac{21\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 7}}{2^3\cdot \color{blue}{ 3}\cdot \color{blue}{ 7}\cdot 13}+\frac{19\cdot \color{green}{ 2^3}}{\color{green}{ 2^3}\cdot 3\cdot 7\cdot 13}=\frac{21\cdot 3\cdot 7+19\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 }{\small .}\)
Перемножая числа в числителе и знаменателе, а затем складывая, получаем:
\(\displaystyle \frac{21\cdot 3\cdot7+19\cdot 2^3}{ 2^3\cdot 3\cdot 7\cdot 13 }=\frac{441+152}{ 2184 }=\frac{ 593}{ 2184 }{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle \frac{593}{2184}{\small .}\)