Найти наименьшее общее кратное:
\(\displaystyle \text{НОК}(64,54)=\)
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, надо:
1) разложить числа на простые множители;
2) выбрать все простые множители в наибольших степенях;
3) произведение этих множителей и будет наименьшим общим кратным двух чисел.
1. Разложим числа \(\displaystyle 54\) и \(\displaystyle 64\) на простые множители:
\(\displaystyle 54=2\cdot 3^{3}\);
\(\displaystyle 64=2^{6}\).
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 54=2\cdot 3^{3}\) – это \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\).
Выпишем простые множители числа \(\displaystyle 64=2^{6}\) – это \(\displaystyle 2\).
Перечислим все простые множители в порядке возрастания: \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\).
2. Выберем все простые множители в наибольших степенях.
Рассмотрим степени \(\displaystyle 2\). В первом числе это \(\displaystyle 2=2^{1}\), во втором числе – \(\displaystyle 2^{6}\). Наибольшая степень из \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 6\) – это \(\displaystyle 6\). Следовательно, первый общий множитель берем \(\displaystyle 2^{6}\).
Рассмотрим степени \(\displaystyle 3\). В первом числе это \(\displaystyle 3^{3}\), а во втором числе \(\displaystyle 3\) нет (считаем, что \(\displaystyle 3\) в нулевой степени). Наибольшая степень из \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle 0\) – это \(\displaystyle 3\). Следовательно, второй общий множитель берем \(\displaystyle 3^{3}\).
3. Таким образом, наименьшим общим кратным исходных двух чисел является произведение \(\displaystyle 2^{6}\cdot 3^{3}=64\cdot 27=1728\).
Ответ: \(\displaystyle 1728\).