Уравнение
\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\)
равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:
\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)
Приведем правую часть выражение к одной функции \(\displaystyle \cos(x){\small.}\)
Для этого используем формулу \(\displaystyle \color{blue}{\cos(2x)}=\color{blue}{2\cos^2(x)-1}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\color{blue}{\cos(2x)}+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small ,}\)
\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}(\color{blue}{2\cos^2(x)-1})+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small .}\)
Сделаем замену \(\displaystyle y=\cos x{\small :}\)
\(\displaystyle 4y^3-2\sqrt{3}(2y^2-1)+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)
Раскроем скобки:
\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+2\sqrt{3}+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)
Перенесем все влево:
\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0{\small .}\)
Сокращая, получаем:
\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y=0{\small .}\)
Решим полученное уравнение.
Вынесем \(\displaystyle y \) за скобку:
\(\displaystyle y(4y^2-4\sqrt{3}y+3)=0{\small .}\)
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю:
\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small .}\)
\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
Решим уравнение
\(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small.}\)
Дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=(4\sqrt{3})^2-4\cdot 4\cdot 3=0\)
и единственный корень
\(\displaystyle y=\frac{4\sqrt{3}+0}{2\cdot4}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
Таким образом,
\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
Так как \(\displaystyle y=\cos(x){ \small ,}\) то получаем элементарные тригонометрические уравнения
\(\displaystyle \cos(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)