Теңдеуі
\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\)
екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:
\(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle \cos(x){\small}\) өрнегінің оң жағын бір функцияға келтірейік.
Ол үшін \(\displaystyle \color{blue}{\cos(2x)}=\color{blue}{2\cos^2(x)-1}{\small}\) формуланы қолданамыз.
Нәтижесінде:
\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\color{blue}{\cos(2x)}+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small ,}\)
\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}(\color{blue}{2\cos^2(x)-1})+3\cos(x)=2\sqrt{3}{\small}\) аламыз.
\(\displaystyle y=\cos x{\small}\) ауыстыру жасайық:
\(\displaystyle 4y^3-2\sqrt{3}(2y^2-1)+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)
Жақшаларды ашайық:
\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+2\sqrt{3}+3y=2\sqrt{3}{\small .}\)
Барлығын солға ауыстырамыз
\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0{\small .}\)
Қысқарту арқылы:
\(\displaystyle 4y^3-4\sqrt{3}y^2+3y=0{\small .}\)
Алынған теңдеуді шешеміз.
\(\displaystyle y \) жақшадан шығарамыз:
\(\displaystyle y(4y^2-4\sqrt{3}y+3)=0{\small .}\)
Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, егер олардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса:
\(\displaystyle y=0\) немесе \(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small .}\)
\(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
Теңдеуін шешеміз
\(\displaystyle 4y^2-4\sqrt{3}y+3=0{\small.}\)
Дискриминант
\(\displaystyle {\rm D}=(4\sqrt{3})^2-4\cdot 4\cdot 3=0\)
және жалғыз түбір
\(\displaystyle y=\frac{4\sqrt{3}+0}{2\cdot4}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
Осылайша,
\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle y=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small.}\)
\(\displaystyle y=\cos(x){ \small}\) болғандықтан, \(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\small}\) қарапайым тригонометриялық теңдеулерді аламыз.