\(\displaystyle 4\cos^3(x)-2\sqrt{3}\cos(2x)+3\cos(x)=2\sqrt{3}\) теңдеуі \(\displaystyle \cos(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{3} }{2}{\small}\) екі теңдеуге тең.
\(\displaystyle \cos(x)=0\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) және \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \cos(x)=0\) аралықтан \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз.
\(\displaystyle x_1=\frac{5\pi}{2}\)
\(\displaystyle x_2=\frac{7\pi}{2}\)
\(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_1 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant \frac{1}{2}+2n\le \frac{7}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle 2- \frac{1}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n- \frac{1}{2}\leqslant \frac{7}{2}- \frac{1}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant2n\leqslant 3{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{3}{4}\leqslant n \leqslant \frac{3}{2}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 1,\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)
\(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1=\frac{5\pi}{2}{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle 2\pi\leqslant x_2 \leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle 2\pi\leqslant -\frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant \frac{7\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle 2\leqslant -\frac{1}{2}+2n\le \frac{7}{2}{\small .}\)
Әр бөлікке \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small}\) қосамыз:
\(\displaystyle 2+ \frac{1}{2}\leqslant -\frac{1}{2}+2n+ \frac{1}{2}\leqslant \frac{7}{2}+ \frac{1}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \frac{5}{2}\leqslant 2n \leqslant 4{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{5}{4}\leqslant n \leqslant 2{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle 2,\) яғни \(\displaystyle n=2{\small .}\)
\(\displaystyle n=2\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle -\frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 2=\frac{7\pi}{2}{\small .}\)
Осылайшай, \(\displaystyle \cos(x)=0\) кесіндідегі \(\displaystyle \left[2\pi;\, \frac{7\pi}{2}\right]\) теңдеуінің \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}\) және \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}{\small}\) шешімдері бар.
Жауабы: \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}\) және \(\displaystyle \frac{7\pi}{2}{\small .}\)