Уравнение \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\) равносильно двум уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)
Уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) имеет решения:
\(\displaystyle x_1=2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} \) и \(\displaystyle x_2=\pi+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
Выберите корни уравнения \(\displaystyle \sin(x)=0\) из промежутка \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-2\pi{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=-\pi{\small.}\)
Выберем корни из отрезка \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_1 \leqslant -\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant 2n\leqslant -1{\small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{5}{4}\leqslant n \leqslant -\frac{1}{2}{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -1{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-1\) в \(\displaystyle 2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle 2\pi \cdot (-1)=-2\pi{\small .}\)
Мы ищем целые значения \(\displaystyle n\) такие, что
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant x_2 \leqslant -\pi{ \small .}\)
То есть
\(\displaystyle -\frac{5\pi}{2}\leqslant\pi+2\pi n\leqslant -\pi{ \small .}\)
Разделим неравенство на положительное число \(\displaystyle \pi{\small :}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}\leqslant1+ 2n\leqslant -1{\small .}\)
Вычтем из каждой части \(\displaystyle 1{\small:}\)
\(\displaystyle -\frac{5}{2}-1\leqslant 2n\leqslant -1-1{\small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{7}{2}\leqslant 2n\leqslant -2{\small .}\)
Чтобы выделить \(\displaystyle n{ \small ,}\) разделим неравенства на \(\displaystyle 2{\small : }\)
\(\displaystyle -\frac{7}{4}\leqslant n \leqslant -1{ \small .}\)
Единственное целое число в этом промежутке – это \(\displaystyle -1{\small,}\) то есть \(\displaystyle n=-1{\small .}\)
Подставляя \(\displaystyle n=-1\) в \(\displaystyle \pi+2\pi n{ \small ,}\) получаем:
\(\displaystyle \pi+2\pi \cdot (-1)=-\pi{\small .}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \sin(x)=0\) на отрезке \(\displaystyle \left[-\frac{5\pi}{2};\, -\pi\right]\) имеет решения \(\displaystyle -2\pi\) и \(\displaystyle -\pi{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle -2\pi\) и \(\displaystyle -\pi{\small .}\)