Digital Matematika - 10 класс - Уравнение \(2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

Задание

Уравнение

\(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)

Решение

Упростим выражения \(\displaystyle \sin\left(x+\pi\right)\) и \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right){\small,}\) используя формулы приведения:

\(\displaystyle \color{blue}{\sin(x+\pi)=-\sin(x)}\) и \(\displaystyle \color{green}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)}{\small.}\)

Воспользуемся правилом

Правило

Четверть, знак, функция

1) Определяем четверть, предполагая \(\displaystyle \alpha \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right){\small .}\)

2) Определяем знак исходной функции.

3) Определяем, какая функция будет.

Если к углу \(\displaystyle \pm \alpha \) добавляем или вычитаем

\(\displaystyle \pm\pi ,\, \pm 2\pi ,\, \pm 3\pi,\, \pm 4\pi,\,\ldots\) (целое число \(\displaystyle \pi\)), то функцию не меняем;
\(\displaystyle \pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\, \pm\frac{7\pi}{2},\, \ldots\) (нечетное число половинок \(\displaystyle \pi\)), то функцию меняем: \(\displaystyle \sin\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \cos\) и \(\displaystyle \tg\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \ctg{\small .}\)

Упростим \(\displaystyle \sin(x+\pi){\small.}\)

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle \pi+x { \small ,} \) предполагая \(\displaystyle x \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right){\small .}\)

Значит, угол \(\displaystyle \pi+x\) находится в третьей четверти.

2. Определим знак исходной функции.

В третьей четверти синус отрицательный \(\displaystyle (-){\small.}\)

3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle x\) прибавляем \(\displaystyle \pi\) (целое число \(\displaystyle \pi\)), то функция не меняется.

Значит,

\(\displaystyle \sin(x+\pi)=-\sin(x){\small.}\)

Упростим \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right){\small.}\)

1. Определим, в какой четверти находится угол \(\displaystyle \frac{\pi}{2}-x { \small ,} \) предполагая \(\displaystyle x \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right){\small .}\)

Значит, угол \(\displaystyle \frac{\pi}{2}-x\) находится в первой четверти.

2. Определим знак исходной функции.

В первой четверти косинус положительный \(\displaystyle (+){\small.}\)

3. Определим, какая будет функция.

Так как к аргументу \(\displaystyle x\) прибавляем \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) (нечетное число половинок \(\displaystyle \pi\)), то функция меняется.

Значит,

\(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=+\sin(x)=\sin(x){\small.}\)

Получаем:

\(\displaystyle 2\color{blue}{\sin^2(x+\pi)}-\color{green}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=0{\small,}\)

\(\displaystyle 2\color{blue}{(-\sin(x))^2}-\color{green}{\sin(x)}=0{\small,}\)

\(\displaystyle 2\color{blue}{\sin^2(x)}-\sin(x)=0{\small.}\)

Сделаем замену \(\displaystyle y=\sin(x){\small:}\)

\(\displaystyle 2y^2-y=0{\small.}\)

Вынесем \(\displaystyle y\) за скобку:

\(\displaystyle y(2y-1)=0{\small.}\)

Произведение двух множителей равно нулю, значит, один из множителей равен нулю:

\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle 2y-1=0{\small.}\)

То есть

\(\displaystyle y=0\) или \(\displaystyle y=\frac{1}{2}{\small.}\)

Так как \(\displaystyle y=\sin(x){\small,}\) получаем элементарные тригонометрические уравнения

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small.}\)

Теория: 05 Уравнение \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

Четверть, знак, функция