Skip to main content

Теориясы: 05 \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\) теңдеуі

Тапсырма

Теңдеу

 \(\displaystyle 2\sin^2(x+\pi)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0\)

екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small .}\)

Шешім

\(\displaystyle \sin\left(x+\pi\right)\) және \(\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right){\small,}\) өрнектерді  келтіру формуласын қолдану арқылы ықшамдаймыз

\(\displaystyle \color{blue}{\sin(x+\pi)=-\sin(x)}\) және \(\displaystyle \color{green}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)}{\small.}\)

Нәтижесінде:

 \(\displaystyle 2\color{blue}{\sin^2(x+\pi)}-\color{green}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}=0{\small,}\)

 \(\displaystyle 2\color{blue}{(-\sin(x))^2}-\color{green}{\sin(x)}=0{\small,}\)

 \(\displaystyle 2\color{blue}{\sin^2(x)}-\sin(x)=0{\small.}\)
 

\(\displaystyle y=\sin(x){\small}\) ауыстыру жасаймыз:

 \(\displaystyle 2y^2-y=0{\small.}\)

\(\displaystyle y\) жақшадан шығарайық:

 \(\displaystyle y(2y-1)=0{\small.}\)


Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, демек, көбейткіштердің бірі нөлге тең:

\(\displaystyle y=0\) немесе \(\displaystyle 2y-1=0{\small.}\)

Яғни

\(\displaystyle y=0\) немесе \(\displaystyle y=\frac{1}{2}{\small.}\)


\(\displaystyle y=\sin(x){\small}\) болғандықтан , қарапайым тригонометриялық теңдеулерді аламыз уравнения 

\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=\frac{1}{2}{\small.}\)