Суретте \(\displaystyle f(x)=\log _{a} (x+b){\small}\) функцияның графигі көрсетілген. \(\displaystyle f(x)=4{\small}\) болатын \(\displaystyle x\) мәнін табыңыз.
\(\displaystyle x=\)
\(\displaystyle f(x)=4{ \small}\) болатын \(\displaystyle x{\small}\) мәндерін табу үшін,
- белгісіз \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b{ \small}\) коэффициенттерін табамыз,
- \(\displaystyle \log _{a} (x+b)=4{ \small}\) теңдеуін шешеміз.
\(\displaystyle f(x)=\log _{a} (x+b)\) функциясының графигінде координаталары \(\displaystyle (\color{blue}{-3};\color{blue}{1})\) және \(\displaystyle (\color{green}{-1};\color{green}{2}){ \small}\) болатын нүктелер белгіленгенін ескереміз.
Демек,
- \(\displaystyle x=\color{blue}{-3}\) және \(\displaystyle y=\color{blue}{1}\) координаталарын \(\displaystyle y=\log _{a} (x+b)\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз;
- \(\displaystyle x=\color{green}{-1}\) және \(\displaystyle y=\color{green}{2}\) координаталарын \(\displaystyle y=\log _{a} (x+b)\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз.
Осылайша логарифмдік теңдеулер жүйесін аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{1}&=\log _{a} (\color{blue}{-3}+b){ \small ,}\\\color{green}{2}&=\log _{a} (\color{green}{-1}+b){ \small .}\end{aligned}\right. \)
Оны шешеміз.
1. Рұқсат етілген мәндер ауданын (РМА) табайық. \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &> 0{\small ,}\\ a\,&\cancel{=}\, 1{\small ,}\\ -3+b&> 0{\small ,}\\ -1+b&> 0 \end{aligned} \right. \) \(\displaystyle \Leftrightarrow\) \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &> 0{\small ,}\\ a\,&\cancel{=}\, 1{\small ,}\\ b&> 3{\small ,}\\ b&> 1 \end{aligned} \right. \) \(\displaystyle \Leftrightarrow\) \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} a &> 0{\small ,}\\ a\,&\cancel{=}\, 1{\small ,}\\ b&> 3 \end{aligned} \right. \) 2. Жүйені түрлендіреміз. Логарифмнің негізгі қасиетін қолданайық. РМА-да \(\displaystyle a>0{ \small ,}\, a\,\cancel{=}\, 1{\small}\) болғандықтан, мұны істеуге болады.
Соңында бізде: \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a^1&=-3+b{ \small ,}\\a^2&=-1+b{ \small .} \end{aligned}\right. \) 3. Алынған теңдеулер жүйесін шешейік. Бірінші теңдеуден \(\displaystyle b\)-ны \(\displaystyle a\) арқылы өрнектейміз: \(\displaystyle b={a+3}.\) Екінші теңдеудегі \(\displaystyle b\) орнына \(\displaystyle b=\color{magenta}{a+3}{ \small}\) өрнегін ауыстырайық. \(\displaystyle a^2=-1+\color{magenta}{a+3}{ \small .}\) Осылайша, келесі квадрат теңдеуді алдық: \(\displaystyle {a^2}-a-2=0{ \small .}\)
\(\displaystyle {a^2}-a-2=0\) теңдеуінің түбірлері \(\displaystyle a_1=2\) және \(\displaystyle a_2=-1\) \(\displaystyle b{\small}\) сәйкес мәндерді табамыз: \(\displaystyle b_1=a_1+3=2+3=5{\small .}\) \(\displaystyle b_2=a_1+3=-1+3=2{\small .}\) Яғни бастапқы жүйенің ықтимал шешімдері: \(\displaystyle a_1=2{ \small ,}\) \(\displaystyle b_1=5\) және \(\displaystyle a_2=-1{ \small ,}\) \(\displaystyle b_2=2{ \small .} \) 4. Табылған \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) мәндерінің РМА-ға жататынын тексерейік. \(\displaystyle a_1=2{\small:}\) \(\displaystyle 2>0\) дұрыс және \(\displaystyle 2\,\cancel{=}\,1\) дұрыс – РМА қанағаттандырады; \(\displaystyle b_1=5{ \small :} \) \(\displaystyle 5>3\) дұрыс – РМА қанағаттандырады. \(\displaystyle a_2=-1{ \small :} \) \(\displaystyle -1>0\) дұрыс емес – РМА қанағаттандырмайды.
|
Осылайша, \(\displaystyle f(x)=\log _{a} (x+b)\) бастапқы функциясы келесідей болады:
\(\displaystyle f(x)=\log _{2} (x+5){\small . }\)
\(\displaystyle f(x)\) функциясының мәндері \(\displaystyle 4{ \small}\) тең болатын \(\displaystyle x{ \small}\) мәндерін табайық.
Барлық осындай \(\displaystyle x\) келесі теңдеуді қанағаттандырады
\(\displaystyle \log _{2} (x+5)=4{\small . } \)
Анықтама бойынша, \(\displaystyle \log_c v=u\) тең \(\displaystyle v=c^u{\small .} \)
Сондықтан теңдеу
\(\displaystyle \log _{2} (x+5)=4\) тең \(\displaystyle x+5=2^4{\small .}\)
Яғни
\(\displaystyle x+5=16{\small ,} \)
\(\displaystyle x=11{\small . } \)
Жауабы: \(\displaystyle x=11{\small .}\)