Суретте \(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелерінде қиылысатын \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1{ \small}\) функцияларының графиктері көрсетілген.
\(\displaystyle B\) нүктесінің ординатасын табыңыз.
Есептің шарты бойынша, \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) функцияларының графиктері \(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелерінде қиылысады.
Суретте \(\displaystyle A\) нүктесі көрінеді, бірақ \(\displaystyle B\) нүктесі жоқ.
\(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) нүктелері – \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1{ \small}\) функция графиктерінің қиылысу нүктелері болып табылады.
Демек, бұл нүктелердің координаталары гиперболаның және түзудің де теңдеулерін қанағаттандырады:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}y&=\frac{4}{x}{ \small ,}\\y&=\frac{1}{2}x+1{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle y=\frac{4}{x} \) және \(\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1{ \small} \) болғандықтан, онда
\(\displaystyle \frac{1}{2}x+1=\frac{4}{x} { \small .}\)
Алынған теңдеуді шешейік.
Барлығын сол жаққа жылжытып, ортақ бөлгішке келтірейік.
\(\displaystyle \frac{1}{2}x+1-\frac{4}{x}= 0 { \small ,} \)
\(\displaystyle \frac{x^2+2x-8}{2x}= 0 { \small .}\)
Егер алымы нөлге тең, ал бөлгіш нөлге тең болмаса, онда бөлшек нөлге тең болып табылады.
Келесі жүйені аламыз:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2+2x-8=&0{ \small ,}\\2x \,\cancel{=}\,&0{ \small ;}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x^2+2x-8=&0{ \small ,}\\x \,\cancel{=}\,&0{ \small .}\end{aligned}\right. \)
\(\displaystyle x^2+2x-8=0{ \small}\) квадрат теңдеуін шешейік.
\(\displaystyle x_1=-4\) және \(\displaystyle x_2=2\) түбірлерінің екеуі де \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0 {\small}\) шектеуін қанағаттандырады. Демек, олар бастапқы теңдеудің түбірлері болып табылады.
Осылайша, \(\displaystyle f\left(x\right)=\frac{4}{x}\) және \(\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1\) функция графиктерінің қиылысу нүктелерінің абсциссалары келесіге тең
\(\displaystyle x_1=-4\) және \(\displaystyle x_2=2{\small.}\)
\(\displaystyle x_1=-4\) және \(\displaystyle x_2=2\) мәндері екі \(\displaystyle A \) және \(\displaystyle B\) қиылысу нүктелеріне сәйкес келеді.
Суретте көрінбейтін \(\displaystyle В\) нүктесі \(\displaystyle A \) нүктесінің сол жағында орналасқан.
Демек, \(\displaystyle В\) нүктесінің абсциссасы \(\displaystyle A\) нүктесінің абсциссасынан кіші.
Сондықтан \(\displaystyle B\) нүктесіне \(\displaystyle x_1=-4{\small}\) сәйкес келеді.
Табылған \(\displaystyle x=-4\) мәнін гипербола немесе түзу теңдеуіне қойып, \(\displaystyle В\) нүктесінің ординатасын табайық.
\(\displaystyle y=\frac{4}{x}{\small}\) гиперболасының теңдеуін қолданамыз:
\(\displaystyle y=\dfrac{4}{x}=\dfrac{4}{-4\phantom{1}}=-1{\small.}\)
Демек, \(\displaystyle y=-1\) – \(\displaystyle B{\small}\) нүктесінің ординатасы.
Жауабы: \(\displaystyle -1{\small.}\)