Digital Matematika - 10 сынып - Тригонометриялық функциялар

Тапсырма

Суретте \(\displaystyle f\left(x\right)=a\tg x +b{\small}\) функциясының графигі көрсетілген. \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg){\small}\) табыңыз.

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=\)

Шешім

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg){\small}\) табу үшін, алдымен белгісіз \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b{\small}\) коэффициенттерін табамыз.

Ол үшін \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b{\small}\) қатысты теңдеулер жүйесін құрастырамыз және оны шешеміз.

\(\displaystyle f(x)=a\tg x +b{ \small}\) функциясының графигінде белгіленген нүктелер \(\displaystyle (\color{blue}{0};\color{blue}{-1})\) және \(\displaystyle \bigg(\color{green}{\frac{\pi}{4}};\color{green}{-\frac{1}{2}}\bigg){\small}\) координаталарына ие екендігін ескереміз.

Демек,

\(\displaystyle x=\color{blue}{0}\) және \(\displaystyle y=\color{blue}{-1}\) координаталарын \(\displaystyle y=a\tg x +b\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз;
\(\displaystyle x=\color{green}{\frac{\pi}{4}}\) және \(\displaystyle y=\color{green}{-\frac{1}{2}}\) координаталарын \(\displaystyle y=a\tg x +b\) теңдеуіне қойғанда дұрыс теңдік аламыз.

Осылайша, теңдеулер жүйесін аламыз:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}\color{blue}{-1}&=a\cdot \tg \color{blue}{0}+b{ \small ,}\\\color{green}{-\frac{1}{2}}&=a\cdot \tg\color{green}{\frac{\pi}{4}}+b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

\(\displaystyle \tg \color{blue}{0}=0\) және \(\displaystyle \tg\color{green}{\frac{\pi}{4}}=1{ \small}\) болғандықтан, онда

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{-1}&=a\cdot 0+b{ \small ,}\\{-\frac{1}{2}}&=a\cdot1+b\end{aligned}\right. \)

немесе

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}{-1}&=b{ \small ,}\\{-\frac{1}{2}}&=a+b{ \small .}\end{aligned}\right. \)

Алынған теңдеулер жүйесін шешейік.

Берілген теңдеулер жүйесінің шешімі \(\displaystyle a=\frac{1}{2}\) және \(\displaystyle b=-1\)

Сонда бастапқы функция келесідей болады:

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}\tg x -1{ \small .}\)

Есеп шарты бойынша \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg){ \small}\) табу қажет:

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=\frac{1}{2}\cdot \tg \frac{29\pi}{4}-1{ \small .}\)

\(\displaystyle \tg \frac{29\pi}{4}{ \small}\) табамыз.

\(\displaystyle \text{tg} \frac{29\pi}{4}=\text{tg} \bigg(7\pi+\frac{\pi}{4} \bigg)=\text{tg} \frac{\pi}{4}=1\)

Алдымен \(\displaystyle \frac{29\pi}{4}\) бұрышы үшін \(\displaystyle \pi\) бүтін санын таңдаймыз:

\(\displaystyle \frac{29\pi}{4}=7\pi+\frac{\pi}{4}{\small .}\)

Сонда

\(\displaystyle \tg {\frac{29\pi}{4}}=\tg {\bigg(7\pi+\frac{\pi}{4}\bigg)}{\small .}\)

Төмендету формуласын ережеге сәйкес қолданамыз:

Правило

1) \(\displaystyle \alpha \in \left(0;\frac{\pi}{2}\right){\small}\) екенін болжап, ширекті анықтаймыз.

2) Бастапқы функцияның таңбасын анықтаймыз.

3) Қандай функция болатынын анықтаймыз.

Егер \(\displaystyle \pm \alpha \) бұрышына келесілерді қоссақ немесе азайтсақ

\(\displaystyle \pm\pi ,\, \pm 2\pi ,\, \pm 3\pi,\, \pm 4\pi,\,\ldots\) (\(\displaystyle \pi\) бүтін саны), онда функцияны өзгертпейміз;
\(\displaystyle \pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\, \pm\frac{7\pi}{2},\, \ldots\) (\(\displaystyle \pi\) жартыларының тақ саны), онда функцияны өзгертеміз: \(\displaystyle \sin\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \cos\) және \(\displaystyle \tg\) \(\displaystyle \leftrightarrow\) \(\displaystyle \ctg{\small .}\)

1. \(\displaystyle 7\pi+\frac{\pi}{4}{\small}\) бұрышының қай ширекте екендігін анықтаймыз:

Демек, \(\displaystyle 7\pi+\frac{\pi}{4} \) бұрышы үшінші ширекте орналасқан.

2. Бастапқы функцияның таңбасын анықтаймыз.

Үшінші ширекте тангенс оң (\(\displaystyle {\bf +}\)).

3. Қандай функция болатынын анықтаймыз.

\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) аргументіне \(\displaystyle 7\pi\) қосылатындықтан, функция өзгермейді.

Демек,

\(\displaystyle \tg {\bigg(7\pi+\frac{\pi}{4}\bigg)}=\tg {\frac{\pi}{4}} {\small .}\)

\(\displaystyle \tg {\frac{\pi}{4}}\) мәні – кестелік.

\(\displaystyle \tg {\frac{\pi}{4}} =1{\small .}\)

Осылайша, келесіні аламыз:

\(\displaystyle \tg {\frac{29\pi}{4}}=\tg {\bigg(7\pi+\frac{\pi}{4}\bigg)=\tg {\frac{\pi}{4}}=1}{\small .}\)

Ең соңында төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=\frac{1}{2}\cdot \tg \frac{29\pi}{4}-1= \frac{1}{2}\cdot 1-1=-0{,}5{\small.}\)

Жауабы: \(\displaystyle f\bigg(\frac{29\pi}{4}\bigg)=-0{,}5{\small.}\)

Теориясы: 09 Тригонометриялық функциялар