Найдите значение выражения \(\displaystyle \frac{17\sqrt[12]{\sqrt[20]{a}} - 9\sqrt[3]{\sqrt[80]{a}}}{\sqrt[24]{\sqrt [10]{a}}}\) при \(\displaystyle a > 0.\)
Представим корни в виде степеней с дробными показателями:
\(\displaystyle \frac{17\sqrt[\color{blue}{12}]{\sqrt[\color{orange}{20}]{a}} - 9\sqrt[\color{green}{3}]{\sqrt[\color{magenta}{80}]{a}}}{ \sqrt[\color{brown}{24}]{\sqrt [\color{red}{10}]{a}}}=\frac{17(a^{\frac{1}{\color{orange}{20}}})^{\frac{1}{\color{blue}{12}}}-20(a^{\frac{1}{\color{magenta}{80}}})^{\frac{1}{\color{green}{3}}}}{(a^{\frac{1}{\color{red}{10}}})^{\frac{1}{\color{brown}{24}}}}{\small .}\)
Применим свойство \(\displaystyle (a^x)^y=a^{xy}{\small .}\)
Получаем:
\(\displaystyle \frac{17(a^{\frac{1}{20}})^{\frac{1}{12}}-9(a^{\frac{1}{80}})^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{10}})^{\frac{1}{24}}}=\frac{17a^{\frac{1}{20}\cdot \frac{1}{12}} - 9a^{\frac{1}{80}\cdot \frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{24}}}=\frac{17a^{\frac{1}{240}} - 9a^{\frac{1}{240}}}{a^{\frac{1}{240}}}{\small .}\)
Приведем подобные слагаемые в числителе:
\(\displaystyle \frac{17a^{\frac{1}{240}} - 9a^{\frac{1}{240}}}{a^{\frac{1}{240}}}=\frac{8a^{\frac{1}{240}}}{a^{\frac{1}{240}}}{\small .}\)
Сократив дробь, получаем ответ:
\(\displaystyle \frac{8 \, \cancel{a^{\frac{1}{240}}}}{\cancel{a^{\frac{1}{240}}}}=8{\small .}\)
Таким образом, верна следующая цепочка равенств:
\(\displaystyle \frac{17\sqrt[12]{\sqrt[20]{a}}-9\sqrt[3]{\sqrt[80]{a}}}{ \sqrt[24]{\sqrt [10]{a}}}=\frac{17(a^{\frac{1}{20}})^{\frac{1}{12}}-9(a^{\frac{1}{80}})^{\frac{1}{3}}}{(a^{\frac{1}{10}})^{\frac{1}{24}}}=\frac{17a^{\frac{1}{240}} - 9a^{\frac{1}{240}}}{a^{\frac{1}{240}}}=\frac{8a^{\frac{1}{240}}}{a^{\frac{1}{240}}}=8{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 8 {\small.} \)