Найдите куб суммы:
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576 u+8^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3\) является полным кубом суммы.
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Перепишем \(\displaystyle 216 u^{\,2}\) и \(\displaystyle 576u\) как утроенные произведения так, чтобы один из множителей был в квадрате:
\(\displaystyle 216 u^{\,2}=3\cdot 9u^{\,2}\cdot 8=3\cdot (3u\,)^2 \cdot 8,\)
\(\displaystyle 576u=3\cdot 3u \cdot 64=3\cdot 3u \cdot 8^2.\)
Тогда
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u\,)^3+3\cdot (3u\,)^2 \cdot 8 +3\cdot 3u \cdot 8^2+8^3.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\(\color{blue}{3u}\,)^3\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot (\color{blue}{3u}\,)^2\cdot \color{green}{8}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{3u}\cdot \color{green}{8}^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+\color{green}{8}^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u+8)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3u+8}\,)^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3\) является полным кубом суммы.
Значит,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(a+b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб суммы".
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}+216 u^{\,2}+576u+\color{green}{8^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{8^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{(3u\,)^3}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{8^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=216 u^{\,2}+576u\)
при \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)
Подставляем \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8\) и получаем \(\displaystyle 3\cdot (3u\,)^{\,2}\cdot 8+3\cdot 3u\cdot 8^2=216 u^{\,2}+576u,\) верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8.\)
Следовательно,
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(a+b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=3u\) и \(\displaystyle b=8,\) то есть
\(\displaystyle (3u\,)^3+216 u^{\,2}+576u+8^3=(3u+8)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\bf 3u+8}\,)^3.\)