Найдите куб суммы:
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Первый способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3\) является полным кубом суммы.
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Сравнивая равенства
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\\color{blue}{x}^{\,3}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot \color{blue}{x}^{\,2}\cdot \color{green}{4}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+\color{green}{4}^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
видим, что они в точности совпадают, если \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)
Поэтому
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.\)
Второй способ.
Известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3\) является полным кубом суммы.
Значит,
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Напомним формулу "куб суммы".
Куб суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Приравняем выражения, стоящие в третьих степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{x^{\,3}}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+\color{green}{4^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}.\)
Тогда можно предположить, что \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)
1. Очевидно, что два равенства \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}\) выполняются.
2. Далее надо проверить равенство утроенных произведений
\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2\)
при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)
Подставляем \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4\) и получаем \(\displaystyle 3x^{\,2}\cdot 4+3x\cdot 4^2=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2,\) верное равенство.
В итоге мы получили равенство
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)
при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4.\)
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3\)
при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=4,\) то есть
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.\)
Ответ: \(\displaystyle ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.\)