Қосындының кубын табыңыз:
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=\big(\)\(\displaystyle \big)^3\)
Бірінші амал.
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)Қосындының кубы
Теңдіктерді салыстыра отырып
\(\displaystyle \begin{aligned}\begin{array}{r}\color{blue}{a}^{\,3}\\\color{blue}{x}^{\,3}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}^{\,2}\color{green}{b}\\3\cdot \color{blue}{x}^{\,2}\cdot \color{green}{4}\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{l}+\\+\end{array}\kern{-0.3em}\begin{array}{c}3\color{blue}{a}\color{green}{b}^{\,2}\\3\cdot \color{blue}{x}\cdot \color{green}{4}^2\end{array}\begin{array}{l}+\color{green}{b}^{\,3}\\+\color{green}{4}^3\end{array}\begin{array}{l}=(\color{blue}{a}+\color{green}{b}\,)^3\\=(\,\color{blue}{?\,}+\,\color{green}{?\,})^3,\end{array}\end{aligned}\)
егер \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=4\) болса, біз олардың дәл сәйкес келетінін көреміз.
Сондықтан
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.\)
Екінші амал.
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3\) өрнегі қосындының толық кубы болып табылатыны белгілі.
Демек,
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3\)
табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
«Қосындының кубы» формуласын еске салайық.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle (a+b\,)^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)Қосындының кубы
Олай болса,
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}.\)
Үшінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 3}}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+\color{green}{b^{\, 3}}=\color{blue}{x^{\,3}}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+\color{green}{4^3},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}.\)
Сонда келесіні болжауға болады \(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=4.\)
1. \(\displaystyle \color{blue}{a^{\,3}}=\color{blue}{x^{\, 3}}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,3}}=\color{green}{4^3}\) екі теңдігінің орындалатыны белгілі.
2. Әрі қарай үш еселенген көбейтінділердің теңдігін тексеру керек
\(\displaystyle 3a^{\,2}b+3ab^{\,2}=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2\)
\(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=4\) кезінде
\(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=4\) алмастырып,
\(\displaystyle 3x^{\,2}\cdot 4+3x\cdot 4^2=3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2,\)
дұрыс теңдік аламыз.
Нәтижесінде келесі теңдікті аламыз
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=a^{\,3}+3a^{\,2}b+3ab^{\,2}+b^{\,3}\)
\(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=4\) кезінде.
Олай болса,
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(a+b\,)^3\)
\(\displaystyle a=x\) және \(\displaystyle b=4\) кезінде, яғни
\(\displaystyle x^{\,3}+3\cdot x^{\,2}\cdot 4+3\cdot x\cdot 4^2+4^3=(x+4)^3.\)
Жауабы: \(\displaystyle ({\pmb x}+{\bf 4}\,)^3.\)