Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Заметим, что \(\displaystyle 25=5^2,\) и поэтому мы можем переписать наше выражение так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=(6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+5^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=6z\) и \(\displaystyle b=5\):
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+5^2=(6z-5)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=(6z-5)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (6z-5)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25\) является полным квадратом суммы.
Квадрат суммы
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Заметим, что \(\displaystyle 25=5^2\) и поэтому
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=(6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+5^2.\)
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(6z\,)^2}-2\cdot 6z\cdot 5+\color{green}{5^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(6z\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{5^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 6z\) или \(\displaystyle -6z,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 5\) или \(\displaystyle -5\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=6z,\)
\(\displaystyle b=5.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(6z\,)^2-\color{red}{2\cdot 6z\cdot 5}+5^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2\cdot 6z\cdot 5\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 6z,\) а вместо \(\displaystyle b\) числа \(\displaystyle 5.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 6z\cdot 5.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=6z\) и \(\displaystyle b=5.\)
Поскольку
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=(a-b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=6z\) и \(\displaystyle b=5\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (6z\,)^2-2\cdot 6z\cdot 5+25=(6z-5)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (6z-5)^2.\)