Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle x^{\, 2}-2xz+z^{\, 2}=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Наше выражение в точности совпадает с квадратом разности при \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=z.\)
Поэтому
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{x^{\,2}}-2xz+\color{green}{z^{\, 2}},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{x^{\, 2}}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{z^{\, 2}}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle x\) или \(\displaystyle -x,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle z\) или \(\displaystyle -z\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=x,\)
\(\displaystyle b=z.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=x^{\,2}-\color{red}{2xz}+z^{\, 2},\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}2xz\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) параметра \(\displaystyle x,\) а вместо \(\displaystyle b\) параметра \(\displaystyle z.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot x\cdot z,\)
\(\displaystyle 2ab=2xz.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=z.\)
Поскольку
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(a-b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=x\) и \(\displaystyle b=z\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle x^{\,2}-2xz+z^{\, 2}=(x-z\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (x-z\,)^2.\)