Найдите квадрат разности:
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Первый способ.
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^{\, 2}\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Перепишем удвоенное произведение \(\displaystyle 40kn\) так, чтобы формула квадрата разности была видна явно:
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k\,)^2-2\cdot 4k\cdot 5n+(5n\,)^2.\)
Отсюда видно, что наше выражение в точности совпадает с квадратом суммы при \(\displaystyle a=4k\) и \(\displaystyle b=5n\):
\(\displaystyle (4k\,)^2-2\cdot 4k\cdot 5n+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)
Таким образом,
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (4k-5n\,)^2.\)
Второй способ (нахождение квадрата разности по квадратам).
Нам известно, что выражение \(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2\) является полным квадратом разности.
Квадрат разности
Для любых чисел \(\displaystyle a, \, b\) верно
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)
Следовательно,
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2\)
для некоторых \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b,\) которые надо найти.
Приравняем выражения, стоящие во вторых степенях. Например,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(4k\,)^2}-40kn+\color{green}{(5n\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(4k\,)^2}\) и \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5n\,)^2}.\)
Тогда \(\displaystyle a\) может быть \(\displaystyle 4k\) или \(\displaystyle -4k,\) \(\displaystyle b\) может быть \(\displaystyle 5n\) или \(\displaystyle -5n\) (см. соответствующее доказательство).
Выберем значения параметров \(\displaystyle a\) и \(\displaystyle b\) с одинаковыми знаками, например, со знаком "+":
\(\displaystyle a=4k,\)
\(\displaystyle b=5n.\)
Так как мы приравняли квадраты, то надо обязательно проверить, совпадают ли удвоенные произведения
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(4k\,)^2-\color{red}{40kn}+(5n\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}40kn\)
при подстановке вместо \(\displaystyle a\) выражения \(\displaystyle 4k,\) а вместо \(\displaystyle b\) выражения \(\displaystyle 5n.\)
Подставляя, получаем:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4k\cdot 5n,\)
\(\displaystyle 2ab=40kn.\)
Мы получили верное равенство, что означает правильность равенств \(\displaystyle a=4k\) и \(\displaystyle b=5n.\)
Поскольку
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(a-b\,)^2,\)
то, подставляя \(\displaystyle a=4k\) и \(\displaystyle b=5n\) в скобки справа, получаем:
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)
Ответ: \(\displaystyle (4k-5n\,)^2.\)