Айырманың квадратын табыңыз:
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=\big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
Бірінші тәсіл.
Бізге \(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)Айырма квадраты
\(\displaystyle 40kn\) екі еселенген көбейтіндісін қосынды квадратының формуласы айқын көрінетіндей етіп қайта жазайық:
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k\,)^2-2\cdot 4k\cdot 5n+(5n\,)^2.\)
Бұдан біздің өрнек \(\displaystyle a=4k\) және \(\displaystyle b=5n\) айырма квадратымен дәл сәйкес келетіндігін көруге болады:
\(\displaystyle (4k\,)^2-2\cdot 4k\cdot 5n+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (4k-5n\,)^2.\)
Екінші тәсіл (квадраттар бойынша айырма квадратын табу).
Бізге \(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^{\, 2}\) өрнегі айырманың толық квадраты екені белгілі.
Кез келген \(\displaystyle a, \, b\) сандарына төмендегілер тең \(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(a-b\,)^2.\)Айырма квадраты
Демек, табу керек кейбір \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) үшін
\(\displaystyle a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2}=(4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2\)
Екінші дәрежелі өрнектерді теңестіреміз. Мысалы,
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\, 2}}-2ab+\color{green}{b^{\, 2}}=\color{blue}{(4k\,)^2}-40kn+\color{green}{(5n\,)^2},\)
\(\displaystyle \color{blue}{a^{\,2}}=\color{blue}{(4k\,)^2}\) және \(\displaystyle \color{green}{b^{\,2}}=\color{green}{(5n\,)^2}.\)
Сонда \(\displaystyle a\) \(\displaystyle 4k\) немесе \(\displaystyle -4k,\) \(\displaystyle b\) \(\displaystyle 5n\) немесе \(\displaystyle -5n\) болуы мүмкін (тиісті дәлелді қараңыз).
Таңбалары бірдей, мысалы, «+» таңбасы бар \(\displaystyle a\) және \(\displaystyle b\) параметрлерінің мәндерін таңдайық :
\(\displaystyle a=4k,\)
\(\displaystyle b=5n.\)
Біз квадраттарды теңестіргендіктен, міндетті түрде екі еселенген көбейтінділердің \(\displaystyle a\) орнына \(\displaystyle 4k\) параметрін, ал \(\displaystyle b\) орнына\(\displaystyle 5n\) параметрін ауыстырған кезде сәйкес келетіндігін тексеру қажет
\(\displaystyle a^{\, 2}-\color{red}{2ab}+b^{\, 2}=(4k\,)^2-\color{red}{40kn}+(5n\,)^2,\)
\(\displaystyle 2ab\overset{?}{=}40kn\)
Алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle 2ab=2\cdot 4k\cdot 5n,\)
\(\displaystyle 2ab=40kn.\)
Біз дұрыс теңдікті алдық, бұл \(\displaystyle a=4k\) және \(\displaystyle b=5n\) теңдіктерінің дұрыстығын білдіреді.
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=a^{\, 2}-2ab+b^{\, 2},\)
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(a-b\,)^2\) болғандықтан,
онда, оң жақтағы жақшаға \(\displaystyle a=4k\) және \(\displaystyle b=5n\) алмастыра отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (4k\,)^2-40kn+(5n\,)^2=(4k-5n\,)^2.\)
Жауабы: \(\displaystyle (4k-5n\,)^2.\)