Ортақ көбейткішті тауып, қосындының толық квадратын шығарыңыз:
\(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by=\)\(\displaystyle \big(\)\(\displaystyle \big)^2\)
\(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by\) өрнегінің осындай ортақ көбейткішін жақшадағы өрнек мүшелерінің ортақ көбейткіштері болмайтындай етіп шығарайық.
Мұндай көбейткіш коэффициенттердің ең үлкен ортақ бөлгішінің және ең кіші дәрежелердегі ортақ параметрлердің көбейтіндісіне тең.
1. \(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by\) өрнегінің ортақ көбейткішін табайық.
1.1. \(\displaystyle 150,\, 240\) және \(\displaystyle 96\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгішін есептейік. Оны көбейткіштерге жіктеу немесе Евклид алгоритмі арқылы есептей отырып, келесіні аламыз
\(\displaystyle НОД(150,\,240,\, 96)=6.\)
1.2. Ең төменгі дәрежелік көрсеткіштері бар ортақ параметрлер көбейтіндісін табамыз.
Ол үшін \(\displaystyle 150my^{\, 3}ab,\, 240y^{\,2}bm^{\,2}a, \, 96am^{\, 3}by\) мүшелерін қарастырып, осы мүшелердің әрқайсысында параметрлердің болуының кестесін жасайық
| \(\displaystyle 150my^{\, 3}ab\) | \(\displaystyle 240y^{\,2}bm^{\,2}a\) | \(\displaystyle 96am^{\, 3}by\) | ||
| \(\displaystyle m\) | \(\displaystyle m=m^{\, 1}\) бар | \(\displaystyle m^{\, 2}\) бар | \(\displaystyle m^{\, 3}\) бар | ортақ параметр |
| \(\displaystyle y\) | \(\displaystyle y^{\, 3}\) бар | \(\displaystyle y^{\, 2}\) бар | \(\displaystyle y=y^{\, 1}\) бар | ортақ параметр |
| \(\displaystyle a\) | \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) бар | \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) бар | \(\displaystyle a=a^{\, 1}\) бар | ортақ параметр |
| \(\displaystyle b\) | \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) бар | \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) бар | \(\displaystyle b=b^{\, 1}\) бар | ортақ параметр |
Демек, \(\displaystyle m,\,y,\,a\) және \(\displaystyle b\) параметрлері – бұл ортақ параметрлер.
Бұл ретте:- \(\displaystyle m\) параметрі \(\displaystyle 1,\, 2\) және \(\displaystyle 3\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle m^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=m^{\,1};\)
- \(\displaystyle y\) параметрі \(\displaystyle 3,\, 2\) және \(\displaystyle 1\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle y^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=y^{\,1};\)
- \(\displaystyle a\) параметрі \(\displaystyle 1,\, 1\) және \(\displaystyle 1\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle a^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=a^{\,1};\)
- \(\displaystyle b\) параметрі \(\displaystyle 1,\, 1\) және \(\displaystyle 1\) дәрежелерде кездеседі, мұнда \(\displaystyle b^{\tiny \, \text{ең кіші дәреже көрсеткіші}}=b^{\,1}.\)
Сондықтан ең кіші дәрежелік көрсеткіштері бар ортақ параметрлердің көбейтіндісі келесіге тең
\(\displaystyle m^{\,1}y^{\,1}a^{\,1}b^{\,1}=myab.\)
Демек, \(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by\) өрнегінің ізделіп отырған ортақ көбейткіші \(\displaystyle 6myab\) тең.
2. Енді бастапқы өрнекте \(\displaystyle 6myab\) көбейткішін жақшаның сыртына шығару керек. Өрнектің квадратын алу қажет болғандықтан, оны минус таңбасымен шығарамыз:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\kern{-2em} -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by= \\[10px]\kern{5em} =-6myab\cdot\left( -\frac{150my^{\, 3}ab}{6myab}-\frac{240y^{\,2}bm^{\,2}a}{-6myab}-\frac{96am^{\, 3}by}{-6myab}\right)=\\[10px]\kern{18em} =-6myab \left( 25y^{\, 2}+40ym+16m^{\,2}\right).\end{array}\)
3. Қосынды квадратының формуласын қолдана отырып, жақшадағы өрнекті ықшамдайық:
\(\displaystyle -6myab \left( 25y^{\, 2}+40ym+16m^{\,2}\right)=-6myab\,(5y+4m\,)^2.\)
Осылайша,
\(\displaystyle -150my^{\, 3}ab-240y^{\,2}bm^{\,2}a-96am^{\, 3}by={\bf -6}\pmb{m}\pmb{y}\pmb{a}\pmb{b}\,({\bf 5}\pmb{y}+{\bf 4}\pmb{m}\,)^{\bf 2}.\)
Жауабы: \(\displaystyle {\bf -6}\pmb{m}\pmb{y}\pmb{a}\pmb{b}\,({\bf 5}\pmb{y}+{\bf 4}\pmb{m}\,)^{\bf 2}.\)