Используя свойства степени, приведите неравенство
\(\displaystyle \dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}\geqslant 3^{x+1}\)
к виду, содержащему только степени \(\displaystyle 3^x{\small .}\)
Нам нужно привести к основанию \(\displaystyle 3\) выражения \(\displaystyle 9^{(x+\frac{1}{2})}{\small ,}\,3^{x+3}\) и \(\displaystyle 3^{x+1}{\small .}\)
Представим \(\displaystyle 9\) как степень \(\displaystyle 3 {\small }\) и воспользуемся свойствами степени:
\(\displaystyle 9^{(x+\frac{1}{2})}=(3^{2})^{(x+\frac{1}{2})}=3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3^1=3\cdot 3^{2x}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3^{x+3}=3^{x}\cdot3^3=27\cdot3^{x}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3^{x+1}=3^{x}\cdot3^1=3\cdot3^{x}{\small .}\)
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{3\cdot3^{2x}-27\cdot3^{x}+3}{3^x-9}\geqslant 3\cdot 3^{x}{\small .}\)