Решите неравенство
\(\displaystyle \frac{1}{3^x-1} + \frac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}\geqslant 3^{x+1}\)
\(\displaystyle {{\dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{9^{x+\frac{1}{2}}-3^{x+3}+3}{3^x-9}\geqslant 3^{x+1}}}\)
Получим неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{3\cdot3^{2x}-27\cdot3^{x}+3}{3^x-9}\geqslant 3\cdot 3^{x}{\small .}\)
Нам нужно привести к основанию \(\displaystyle 3\) степени \(\displaystyle 9^{(x+\frac{1}{2})}{\small ,}\,3^{x+3}\) и \(\displaystyle 3^{x+1}{\small .}\)
Представим \(\displaystyle 9\) как степень \(\displaystyle 3 {\small }\) и воспользуемся свойствами степени:
\(\displaystyle 9^{(x+\frac{1}{2})}=(3^{2})^{(x+\frac{1}{2})}=3^{2x+1}=3^{2x}\cdot 3^1=3\cdot 3^{2x}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3^{x+3}=3^{x}\cdot3^3=27\cdot3^{x}{\small ,}\)
\(\displaystyle 3^{x+1}=3^{x}\cdot3^1=3\cdot3^{x}{\small .}\)
Подставим полученные выражения в исходное неравенство.
Получим:
\(\displaystyle \dfrac{1}{3^x-1} + \dfrac{3\cdot3^{2x}-27\cdot3^{x}+3}{3^x-9}\geqslant 3\cdot 3^{x}{\small .}\)
Получим неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
Переменная содержится только в показателях степени с основанием \(\displaystyle 3{\small .}\)
Сделаем замену переменной \(\displaystyle t=3^x{\small .}\)
Тогда \(\displaystyle 3^{2x}=(3^x)^2=t^2{\small .}\)
Получим дробно-рациональное неравенство:
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
III. Решим полученное неравенство методом интервалов.
1. Получим нуль в правой части неравенства. \(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} -3t\geqslant 0{\small .}\)
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small .}\\\) 3. Найдем нули числителя \(\displaystyle t-3\) и знаменателя \(\displaystyle (t-1)(t-9){\small }\) и расставим точки на числовой оси.
Нуль числителя: \(\displaystyle t=3{\small .}\) Нули знаменателя: \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=9{\small .}\) Поскольку неравенство нестрогое, то
Так как \(\displaystyle t=3 \) обращает в ноль числитель и не обращает в ноль знаменатель, то \(\displaystyle t=3\) обозначается закрашенной точкой. Поскольку \(\displaystyle t=1\) и \(\displaystyle t=9\) обращают в ноль знаменатель, то они обозначаются выколотыми точками:
Получили четыре интервала: \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \ (3;9)\) и \(\displaystyle (9;+\infty){\small .}\) 4. Расставим знаки. Определим знак функции \(\displaystyle f(x)= \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\) на каждом из интервалов.\(\displaystyle \\\)
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small }\) соответствуют промежуткам, где функция принимает положительные значения и включают невыколотые граничные точки. Тогда неравенство выполняется при \(\displaystyle \color{Blue}{1<t\leqslant 3{\small}}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{t>9{\small.}}\) |
IV. Вернёмся к старой переменной.
Вернёмся к переменной \(\displaystyle x{\small .}\) У нас \(\displaystyle t=3^x{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle \color{Blue}{1<3^x\leqslant 3}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{3^x>9{\small.}}\)
Решим каждое неравенство.
Решением исходного неравенства является объединение найденных промежутков:
\(\displaystyle \color{Blue}{(0;1]\cup(2;+\infty){\small .}}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in (0;1]\cup(2;+\infty){\small .}\)