В неравенствах
\(\displaystyle {1<t\leqslant 3{\small;}}\) \(\displaystyle t>9{\small,}\) где \(\displaystyle t=3^x{\small,}\)
вернитесь к старой переменной \(\displaystyle x{\small.}\)
Решите полученные неравенства.
Найдите объединение множеств решения полученных неравенств. Оно и является решением исходного неравенства.
В неравенствах
\(\displaystyle {1<t\leqslant 3{\small;}}\) \(\displaystyle t>9{\small}\)
вернёмся к переменной \(\displaystyle x{\small .}\) У нас \(\displaystyle t=3^x{\small .}\)
Тогда:
\(\displaystyle \color{Blue}{1<3^x\leqslant 3}\) или \(\displaystyle \color{Blue}{3^x>9{\small.}}\)
Решим каждое неравенство.
Запишем двойное неравенство в виде системы неравенств:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}3^x& >1,\\[5px]3^x& \leqslant \,3,\\\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcl}3^x& >3^0,\\[5px]3^x& \leqslant \,3^1.\\\end{array}\right.\)
Так как основание степени \(\displaystyle 3>1{\small,}\) то при переходе к неравенству на показатели знак неравенства не изменится.
Получаем:
\(\displaystyle \left\{\begin{array}{rcl}x& >0,\\[5px]x& \leqslant \,1.\\\end{array}\right.\)
То есть, решением данного неравенства является промежуток \(\displaystyle (0;1]{\small .}\)
\(\displaystyle 3^x >9{\small} \Leftrightarrow 3^x >3^2{\small .}\)
Так как основание степени \(\displaystyle 3>1{\small,}\) то при переходе к неравенству на показатели знак неравенств не изменится.
Получим: \(\displaystyle x>2{\small.} \)
То есть, решением данного неравенства является промежуток \(\displaystyle {(2;+\infty)}{\small .}\)
Решением исходного неравенства является объединение найденных промежутков:
\(\displaystyle \color{Blue}{(0;1]\cup(2;+\infty){\small .}}\)
Ответ: \(\displaystyle x \in (0;1]\cup(2;+\infty){\small .}\)