Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} \geqslant 3t{\small .}\)
1. Теңсіздіктің оң жақ бөлігінде нөлді аламыз.
\(\displaystyle \dfrac{1}{t-1} + \dfrac{3t^2-27t+3}{t-9} -3t\geqslant 0{\small .}\)
2. Теңсіздіктің сол жақ бөлігін рационал бөлшек түрінде көрсетейік.
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small .}\)
3. \(\displaystyle t-3\) алымы мен \(\displaystyle (t-1)(t-9){\small }\) бөлімінің нөлдерін тауып, сандық оське нүктелерді орналастырамыз.
Бөлімінің нөлі: \(\displaystyle t=1\) және \(\displaystyle t=9{\small .}\)
Теңсіздік қатаң емес болғандықтан, онда
- бөлгішті нөлге айналдырмайтын алымның барлық нөлдері боялған нүктелермен белгіленеді;
- бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан тесілген нүктелермен белгіленеді.
Себебі \(\displaystyle t=3 \) алымды нөлге айналдыратын және бөлгішті нөлге айналдырмайтын болғандықтан, онда \(\displaystyle t=3\) боялған нүктемен белгіленеді.
\(\displaystyle t=1\) және \(\displaystyle t=9\) бөлгішті нөлге айналдыратындықтан, онда олар тесілген нүктелермен белгіленеді:
Төрт интервал алдық:
\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3){ \small ,} \ (3;9)\) және \(\displaystyle (9;+\infty){\small .}\)
4. Белгілерді орналастырайық.
Әр интервалдағы \(\displaystyle f(x)= \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\) функциясының белгісін анықтайық.\(\displaystyle \\\)
5. Жауапты жазайық.
\(\displaystyle \frac{t-3}{(t-1)(t-9)}\geqslant 0{\small }\) теңсіздігінің шешімдері функция оң мәндерді қабылдайтын және бөлінбеген шекаралық нүктелерді қосатын аралықтарға сәйкес келеді. .
Сонда теңсіздік келесіде орындалады
\(\displaystyle \color{Blue}{1<t\leqslant 3{\small ;}}\) \(\displaystyle \color{Blue}{t>9{\small.}}\)
Жауабы: \(\displaystyle t \in (1;3]\cup(9;+\infty){\small .}\)