Теңдеуді шешіңіз:
\(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5{4}=2{\small .}\)
Алдымен \(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_{5}4=2\) теңдеуін шешейік, содан кейін тексеру жасаймыз.
Теңдеудің екі бөлігін де бірдей негізді логарифмдер түрінде көрсетейік.
Оң жақ бөлігін негізі \(\displaystyle 5\) болатын логарифм ретінде қайта жазайық.
Логарифм анықтамасы бойынша
\(\displaystyle 2=\log_5 5^2=\log_5 25{\small .}\)
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5 4=\log_{5}25{\small .}\)
Логарифм қасиеттері бойынша
\(\displaystyle \log _{5}(x-10)-\log _{5} 4=\log_5 \frac{x-10}{4}{\small .}\)
Сонда \(\displaystyle \log_{5}(x-10)-\log_5 4=\log_{5}25\) теңдеуін келесідей қайта жазуға болады
\(\displaystyle \log _{5}\frac{x-10}{4}=\log_5 25{\small .}\)
Екі бөлікте де бірдей негізді логарифмдер тұр. Мұндай логарифмдер, егер олардың аргументтері тең болса, тең болады:
\(\displaystyle \frac{x-10}{4}=25 {\small .}\)
Екі бөлігін де \(\displaystyle 4\) көбейтіп, алынған сызықтық теңдеуді шешеміз:
\(\displaystyle x-10=100{\small ,}\)
\(\displaystyle x=110{\small .}\)
Тексеру: \(\displaystyle x=110\) бастапқы теңдеуге қояйық. Келесіні аламыз:
\(\displaystyle \log_{5}(110-10)-\log_{5}4=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_5 100-\log_5 4=2{\small ,}\)
\(\displaystyle \log_5 \frac{100}{4}=\log_5 25\) – дұрыс.
Жауабы: \(\displaystyle 110{\small .} \)