Өрнектің мәнін табыңыз:
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}= \)
1-шешім.
Шартта \(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}\) екі түрлі логарифмасты өрнектер бар. Олар бір бірімен байланысты:
\(\displaystyle 16=2^4{\small,}\)
яғни
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4} {\small.}\)
Логарифм астынан дәреже көрсеткішін қасиетін қолдана отырып шығарайық:
\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)
\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \log_3 2^{\color{red}4}=\color{red}4\log_3 2 {\small.}\)
Сонда
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4}=\frac{ \log_{3} 2}{4\log_{3} 2}{\small.}\)
Алынған бөлшекті қысқартайық:
\(\displaystyle \frac{ \cancel{\log_{3} 2}}{4\, \cancel{\log_{3} 2}}=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)
Осылайша, келесі теңдік тізбегі дұрыс:
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4}=\frac{ \log_{3} 2}{4\log_{3} 2}= \frac{1}{4}=0{,}25{\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 0{,}25 {\small.} \)
2-шешім.
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}\) өрнегінде негіздері бірдей логарифмдер бөлінеді.
Логарифмнің жаңа негізге көшу қасиетін қолданамыз:
\(\displaystyle \frac{\log_\color{red}a \color{blue}b}{\log_\color{red}a \color{green}c}= \log_\color{green}c \color{blue}b\)
\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1, c>0, c \, \cancel= \,1 )\)
Төмендегіні аламыз:
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\log_{16} 2 {\small.}\)
Алынған логарифмнің мәнін табыңыз:
\(\displaystyle \log_{16} 2= \log_{2^4} 2=\frac{1}{4} \log_{2} 2=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)
Осылайша, келесі теңдік тізбегі дұрыс:
\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\log_{16} 2=\log_{2^4} 2=\frac{1}{4} \log_{2} 2=\frac{1}{4}=0{,}25 {\small .}\)
Жауабы: \(\displaystyle 0{,}25 {\small.} \)