Skip to main content

Теориясы: 05 Бөлшек және негіздерінің ауысуы

Тапсырма

Өрнектің мәнін табыңыз:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}= \)

Шешім

1-шешім.

Шартта  \(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}\) екі түрлі логарифмасты өрнектер бар. Олар бір бірімен байланысты:

\(\displaystyle 16=2^4{\small,}\)

яғни

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4} {\small.}\)


Логарифм астынан дәреже көрсеткішін қасиетін қолдана отырып шығарайық:

Правило

\(\displaystyle \log_a b^{\color{red}k}=\color{red}k \log_a b\)

\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1 )\)

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \log_3 2^{\color{red}4}=\color{red}4\log_3 2 {\small.}\)

Сонда

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4}=\frac{ \log_{3} 2}{4\log_{3} 2}{\small.}\)


Алынған бөлшекті қысқартайық:

\(\displaystyle \frac{ \cancel{\log_{3} 2}}{4\, \cancel{\log_{3} 2}}=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)


Осылайша, келесі теңдік тізбегі дұрыс:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 2^4}=\frac{ \log_{3} 2}{4\log_{3} 2}= \frac{1}{4}=0{,}25{\small .}\) 


Жауабы: \(\displaystyle 0{,}25 {\small.} \)


2-шешім.

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}\) өрнегінде негіздері бірдей логарифмдер бөлінеді.

Логарифмнің жаңа негізге көшу қасиетін қолданамыз:

Правило

\(\displaystyle \frac{\log_\color{red}a \color{blue}b}{\log_\color{red}a \color{green}c}= \log_\color{green}c \color{blue}b\)

\(\displaystyle (b>0, a>0,a \, \cancel= \,1, c>0, c \, \cancel= \,1 )\)

Төмендегіні аламыз:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\log_{16} 2 {\small.}\)


Алынған логарифмнің мәнін табыңыз:

\(\displaystyle \log_{16} 2= \log_{2^4} 2=\frac{1}{4} \log_{2} 2=\frac{1}{4}=0{,}25{\small.}\)


Осылайша, келесі теңдік тізбегі дұрыс:

\(\displaystyle \frac{ \log_{3} 2}{\log_{3} 16}=\log_{16} 2=\log_{2^4} 2=\frac{1}{4} \log_{2} 2=\frac{1}{4}=0{,}25 {\small .}\) 


Жауабы: \(\displaystyle 0{,}25 {\small.} \)