\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\) теңдеуі:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}{\small}\) екі теңдеуге тең.
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}\) және \(\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \, n\in \mathbb{Z}{ \small .}\)
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}\) теңдеуінің түбірлерін \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small}\) аралықтан тандаңыз.
\(\displaystyle x_1=-\frac{15\pi}{4}\)
\(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]{\small}\) кесіндіден түбірлерді таңдаймыз.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_1 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -4\pi\leqslant \frac{\pi}{4}+2\pi n \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -4\leqslant \frac{1}{4}+2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small}\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle -4- \frac{1}{4}\leqslant \frac{1}{4}+2n- \frac{1}{4}\leqslant -\frac{5}{2}- \frac{1}{4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{17}{4}\leqslant2n \leqslant -\frac{11}{4}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{17}{8}\leqslant n \leqslant -\frac{11}{8}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан \(\displaystyle -2,\) яғни \(\displaystyle n=-2{\small .}\)
\(\displaystyle n=-2\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}+2\pi \cdot (-2)=-\frac{15\pi}{4}{\small .}\)
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle -4\pi\leqslant x_2 \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle -4\pi\leqslant -\frac{\pi}{6}+2\pi n \leqslant -\frac{5\pi}{2}{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle -4\leqslant -\frac{1}{4}+2n\leqslant -\frac{5}{2}{\small .}\)
Әр бөлікке \(\displaystyle \frac{1}{4}{\small}\) қосамыз:
\(\displaystyle -4+ \frac{1}{4}\leqslant -\frac{1}{4}+2n + \frac{1}{4}\leqslant -\frac{5}{2}+ \frac{1}{4}{ \small ,}\)
\(\displaystyle -\frac{15}{4}\leqslant2n \leqslant -\frac{9}{4}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small }\) бөлеміз:
\(\displaystyle -\frac{15}{8}\leqslant n \leqslant -\frac{9}{8}{ \small .}\)
Бұл аралықта бүтін сандар ЖОҚ.
Осылайша, \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2} }{2}\) теңдеуі \(\displaystyle \left[-4\pi;\, -\frac{5\pi}{2}\right]\) кесіндісінде \(\displaystyle -\frac{15\pi}{4}{\small}\) шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle -\frac{15\pi}{4}{\small .}\)