\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0{\small}\) теңдеуі.
екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Барлық тригонометриялық функцияларды бір \(\displaystyle x{\small}\) аргументке келтірейік.
Ол үшін
\(\displaystyle \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x){\small}\) қос бұрыштың синусы формуласын қолданамыз:
Нәтижесінде:
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\color{blue}{\sin(2x)}+\sin(x)=0{\small,}\)
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\cdot\color{blue}{2\sin(x)\cos(x)}+\sin(x)=0{\small}\) аламыз.
Теңдеуді жеңілдетейік.
Ол үшін ортақ көбейткіш \(\displaystyle \sin(x)\) жақшаның сыртына аламыз:
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\cdot{2\sin(x)\cos(x)}+\sin(x)=0{\small,}\)
\(\displaystyle \sin(x)(2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1)=0{\small.}\)
Екі көбейткіштің көбейтіндісі нөлге тең, егер олардың кем дегенде біреуі нөлге тең болса:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \color{blue}{2\cos^2(x)-2\sqrt{2}{\cos(x)}+1=0}{\small.}\)
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Теңдеу
\(\displaystyle 2\cos^2(x)-2\sqrt{2}\cos(x)+1=0\)
\(\displaystyle y=\cos(x){\small}\) ауыстыруды жасайық:
\(\displaystyle 2y^2-2\sqrt{2}y+1=0{\small.}\)
Квадрат теңдеуді алдық. Оны шешеміз.
Дискриминант теңдеу тең:
\(\displaystyle {\rm D}=(-2\sqrt{2})^2-4\cdot 2\cdot 1=0{ \small .}\)
Сонда теңдеудің жалғыз түбірі:
\(\displaystyle y=\frac{-(-2\sqrt{2})+0}{2\cdot2}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
\(\displaystyle y=\cos(x){\small}\) болғандықтан,
\(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Демек, теңдеу
\(\displaystyle 2\sin(x)\cdot\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin(2x)+\sin(x)=0\)
екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең
\(\displaystyle \sin(x)=0\) немесе \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)