Теңсіздікті шешіңіз:
\(\displaystyle \frac{ x-2}{ x-4}\geqslant \frac{ x-3}{ x-5}{\small .}\)
\(\displaystyle x \in \)
Теңсіздікті аралық әдісімен шешу үшін теңсіздікті бір жағында нөл болатындай түрлендіреміз:
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-4}\geqslant \frac{x-3}{x-5}{\small , } \)
\(\displaystyle \frac{x-2}{x-4}-\frac{x-3}{x-5}\geqslant 0{\small . } \)
Келесі теңсіздікті аламыз:
\(\displaystyle \frac{-2}{(x-4)(x-5)}\geqslant 0{\small. } \)
\(\displaystyle (x-4)(x-5){\small } \) азайғыштың түбірін табыңыз.
\(\displaystyle (x-4)(x-5)=0 { \small ,}\)
\(\displaystyle x-4=0 \) немесе \(\displaystyle x-5=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x=4 \) немесе \(\displaystyle x=5{\small .} \)
Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан
- Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
- Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.
\(\displaystyle x=4\) және \(\displaystyle x=5\) бөлгішті нөлге айналдыратындықтан, олар түсірілген нүктелермен белгіленеді:
Бізде үш аралық бар:
\(\displaystyle (-\infty;4){ \small ,} \, (4;5)\) және \(\displaystyle (5;+\infty){\small .}\)
Нәтижесінде біз аламыз:
\(\displaystyle \frac{ -2}{(x-4)(x-5) }\geqslant 0\) теңсіздігінің шешімдері функция оң болатын және түсірілмеген шекара нүктелерін қамтитын аралықтарға сәйкес болғандықтан (бұл жағдайда мұндай нүктелер жоқ, онда
\(\displaystyle (4;5)\) – қалаған шешім.
Жауабы: \(\displaystyle x \in (4;5){\small .}\)