Решите неравенство
\(\displaystyle x^2 - 3x -4\ge0{\small ,}\)
если известен график параболы \(\displaystyle y=x^2 - 3x -4{\small.}\)
Для решения неравенства \(\displaystyle x^2 - 3x -4\ge 0\) надо найти те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) которые дают значение \(\displaystyle x^2 - 3x -4 \) больше либо равно нуля.
Для параболы \(\displaystyle y=x^2 - 3x -4 \) это означает, что надо найти те значения \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых \(\displaystyle y \) больше либо равно нуля.
То есть нужно определить те \(\displaystyle x{ \small ,} \) для которых соответствующие точки параболы лежат как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней.
Выделим красным цветом точки параболы, лежащие как выше оси \(\displaystyle \rm OX {\small , }\) так и на ней:
Определим координаты \(\displaystyle x\) данных точек:
Получаем, что это точки, лежащие слева и справа от точек пересечения параболы с осью \(\displaystyle \rm OX\) (включая точки пересечения, так как в них \(\displaystyle x^2 - 3x -4=0\)).
То есть это все точки левее \(\displaystyle -1 \) и правее \(\displaystyle 4{\small ,}\) а также сами точки \(\displaystyle -1 \) и \(\displaystyle 4{\small :}\)
Таким образом, решение неравенства на прямой выглядит следующим образом:
На прямой изображены все точки, координата \(\displaystyle x \) которых меньше либо равна \(\displaystyle -1 \) или больше либо равна \(\displaystyle 4{ \small .} \)
То есть это все точки, для которых \(\displaystyle x\le -1 \) или \(\displaystyle x\ge 4{\small .} \)
Переписывая это в виде интервала, получаем:
\(\displaystyle x\in (-\infty;\, -1]\cup [4;\, +\infty){\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle x\in (-\infty;\, -1]\cup [4;\, +\infty){\small .}\)