Теория: Отрицательный угол поворота

Решение 1

Рассмотрим множество углов, представимых в виде \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n{\small.}\)

Это углы, отличающиеся от \(\displaystyle -940^{\circ}\) прибавлением или вычитанием \(\displaystyle 360^{\circ}{\small.}\)

Среди этих углов необходимо найти наименьший по абсолютной величине.

Уменьшим абсолютную величину угла \(\displaystyle -940^{\circ}{\small,}\) меняя угол на число градусов, кратное \(\displaystyle 360^{\circ}{\small.}\)

Для этого поделим \(\displaystyle 940\) на \(\displaystyle 360\) с остатком:

\(\displaystyle 940=360\cdot {2}+220{\small.}\)

Значит,

\(\displaystyle -940^{\circ}=-(360^{\circ}\cdot {2}+220^{\circ})=-220^{\circ}+360^{\circ}\cdot(-2){\small.}\)

Подставляя в исходное выражение, получаем:

\(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n=-220+360^{\circ}\cdot(-2)+360^\circ\cdot n=-220+360^\circ\cdot (n-2){\small.}\)

Подставим \(\displaystyle n{ \small ,}\) при котором выражение \(\displaystyle n-2\) равно \(\displaystyle 0{\small.}\) То есть \(\displaystyle n=2{\small.}\) В результате получаем:

\(\displaystyle -220^{\circ}+360^\circ\cdot (n-2)=-220^{\circ}+360^\circ\cdot0=-220^{\circ}{\small.}\)

Абсолютная величина угла \(\displaystyle -220^{\circ}\) равна \(\displaystyle 220^{\circ}{\small.}\)

Если уменьшать угол, подставляя числа  \(\displaystyle n=1,\,0,\dots{\small,}\) то будут получаться углы с абсолютной величиной больше \(\displaystyle 220^{\circ}{\small.}\)
 

Поэтому будем последовательно увеличивать угол.

Для этого начнем подставлять числа \(\displaystyle n=3,\,4,\,\dots{\small:}\)

• при \(\displaystyle n=3{\small,}\) получаем \(\displaystyle -220^{\circ}+360^\circ\cdot(3-2)=140^{\circ}{\small.}\)

Получили положительный угол в \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\) Его абсолютная величина равна \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

Если далее увеличивать угол, подставляя числа \(\displaystyle n=4,\,5,\dots{\small,}\) то будут получаться углы, по абсолютной величине большие \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

Сравним положительный и отрицательный углы с минимальной абсолютной величиной. 

Получаем, что минимальный по абсолютной величине угол среди углов вида \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n\)  – это угол в \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

Угол в \(\displaystyle 140^{\circ}\) получается при \(\displaystyle n=3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle n=3{\small.}\)

Решение 2

Будем действовать следующим образом.

Начнем с \(\displaystyle n=0{\small.}\)

Далее:

• сначала будем увеличивать угол и оценивать его абсолютную величину;
• потом будем уменьшать угол и также оценивать его абсолютную величину.

Вычислим \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot n\) при \(\displaystyle n=0{\small.}\) В результате получим:

\(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{0}=-940^{\circ}{\small.}\)

 Абсолютная величина угла \(\displaystyle -940^{\circ}\) равна \(\displaystyle 940^{\circ}{\small.}\)

Будем последовательно увеличивать угол.

Для этого начнем подставлять положительные числа \(\displaystyle n=1,\,2,\dots{\small:}\)

• при \(\displaystyle n=1\) получаем \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{1}=-580^{\circ}{\small;}\)
• при \(\displaystyle n=2\) получаем \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{2}=-220^{\circ}{\small;}\)
• при \(\displaystyle n=3\) получаем \(\displaystyle -940^\circ+360^\circ\cdot \color{red}{3}=140^{\circ}{\small.}\)

Получили положительный угол \(\displaystyle 140^{\circ}{\small .}\) Его абсолютная величина равна \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

Если далее увеличивать угол, подставляя числа \(\displaystyle n=4,\,5,\dots{ \small ,}\) то будем получать положительные углы большие \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

У положительных углов, больших \(\displaystyle 140^{\circ}{ \small ,}\) абсолютная величина больше \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

Если уменьшать угол, подставляя отрицательные числа \(\displaystyle n=-1,\,-2\,\dots{\small,}\) то будут получаться углы меньшие \(\displaystyle -940^{\circ}{\small.}\)

Абсолютная величина отрицательных  углов, меньших \(\displaystyle -940^{\circ}{ \small ,}\) больше \(\displaystyle 940^{\circ}{\small.}\)

Значит, для \(\displaystyle n=-1,\,-2\,\dots\) абсолютные значения углов будут больше \(\displaystyle 940^{\circ}\) и, тем более, больше \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\)

Значит, среди всех данных углов наименьшую абсолютную величину имеет угол \(\displaystyle 140^{\circ}{\small.}\) 

Значение \(\displaystyle 140^{\circ}\) получается при \(\displaystyle n=3{\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle n=3{\small.}\)