Теңдеуді шешіңіз:
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-3=0{\small.}\)
(Егер түбірлер екіден аз болса, соңғы ұяшықты бос қалдырыңыз).
Алдымен теңдеудің жарамды мәндер ауқымын жазайық.
\(\displaystyle 0\) - ге бөлуге болмайды, демек, \(\displaystyle x\,\cancel{=}\,0{\small.}\)
Теңдеуді шешуге көшейік.
Алмастырудың көмегімен теңдеуді квадратқа дейін келтіруге тырысайық.
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}\) бөлшегі – бұл \(\displaystyle \frac{1}{x}\) квадраты екенін ескереміз.
\(\displaystyle \frac{1}{x^2}=\left(\frac{1}{x}\right)^2\)
Сонда егер \(\displaystyle \color{blue}{t}=\color{blue}{\frac{1}{x}}{\small}\) айнымалысын алмастырса, онда \(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{x^2}}=\left(\color{blue}{\frac{1}{x}}\right)^2=\color{green}{t^2}{\small.}\)
Теңдеуде алмастыруды жасайық:
\(\displaystyle \color{green}{\frac{1}{x^2}}+\color{blue}{\frac{2}{x}}-3=0{\small,}\)
\(\displaystyle \color{green}{t^2}+\color{blue}{2t}-3=0{\small.}\)
Квадрат теңдеуді алдық. Оны шешейік.
\(\displaystyle t_1=-3{\small,}\)
\(\displaystyle t_2=1{\small.}\)
Енді \(\displaystyle t\) қандай мәндерді қабылдайтынын және \(\displaystyle x\)-тың \(\displaystyle t\)-ға тәуелділігін біле отырып, \(\displaystyle x\) табамыз.
\(\displaystyle {t}=\frac{1}{x}\) және \(\displaystyle t=-3\) немесе \(\displaystyle t=1\) болғандықтан, келесіні аламыз:
\(\displaystyle -3=\frac{1}{x}\) немесе \(\displaystyle 1=\frac{1}{x}{\small.}\)
Яғни
\(\displaystyle x=-\frac{1}{3}\) немесе \(\displaystyle x=1{\small.}\)
Демек, бастапқы теңдеудің түбірлері:
\(\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}{\small,}\)
\(\displaystyle x_2=1{\small.}\)
Жауабы: \(\displaystyle x_1=-\frac{1}{3}\) және \(\displaystyle x_2=1{\small.}\)